Calculs explicites dans les groupes de Grotendieck et de Chow des variétés homogènes projectives

par Franck Doray

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Emmanuel Peyre.

Soutenue en 2006

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble) .


  • Résumé

    Les variétés homogènes projectives sous un groupe algébrique déployé ont une géométrie assez simple. La décomposition de Bruhat fournit, en effet, une décomposition cellulaire de ces variétés. Il en résulte que l'anneau de Chow de telles variétés admet une base formée des classes des adhérences de ces cellules, appelées variétés de Schubert. Il en est de même pour l'anneau de Grothendieck de telles variétés. Cela entraîne en particulier que ces deux anneaux sont sans torsion. Plus précisément, la base ainsi obtenue pour l'anneau de Grothendieck fournit la filtration topologique de cette anneau et redonne la base de l'anneau de Chow par passage au gradué. D'autre part, il existe une seconde base due à Pittie et Steinberg de l'anneau de Grothendieck de ces variétés, invariante sous l'action du groupe de Galois. Le Chapitre II de la thèse revient, dans le cas des drapeaux complets associés à un espace vectoriel, sur les résultats connus concernant la combinatoire donnant les expressions des faisceaux structuraux des variétés de Schubert dans l'anneau de Grothendieck, ce qui permet, en suivant les travaux de Lascoux notamment, d'exprimer combinatoirement la matrice de changement de bases entre les deux bases ci-dessus. Dans le cas de la variété de drapeaux complets d'un espace vectoriel de dimension trois, nous donnons des résolutions explicites des faisceaux structuraux des variétés de Schubert en termes des fibrés de la base de Pittie. Les groupes de Chow sont connus en codimension un et ont été étudiés en codimension deux par Karpenko dans le cas des variétés de Severi-Brauer. Le calcul des motifs des varietés homogènes projectives sous le groupe projectif linéaire d'une algébre simple centrale sur un corps se ramène sous certaines conditions au calcul de motifs de variétés de Severi-Brauer généralisées, formes de grassmaniennes, comme l'ont montré Calmès, Petros, Semenov et Zainouline. Dans le chapitre II, nous construisons des isomorphismes de variétés explicites qui permettent de ramener le calcul des groupes de Chow de ces variétés au calcul de groupes de Chow de variétés de Severi-Brauer généralisées. Les techniques décrites dans le chapitre III sont réutilisées au chapitre IV pour redémontrer un résultat de Karpenko sur la décomposition du motif de Chow de variétés de Severi-Brauer associée à une algèbre de matrices à coefficients dans une algèbre simple centrale.


  • Pas de résumé disponible.

  • Titre traduit

    Explicit computations of Chow and Grothendieck groups for projective homogeneous varieties


  • Résumé

    The homogeneous projective varieties under a split algebraic group have a rather simple geometry. The Bruhat's decomposition gives a cellular decomposition of theses varieties. Therefore the Chow ring of such varieties has a basis consisting of the classes of the closure of these cells, the Schubert varieties. The same thing is true for the Grothendieck ring of such varieties. This implies that these two rings are torsion-free. More precisely, the preceding basis of the Grothendieck ring provides the topological filtration of this ring and therefore gives once again, via the graded ring associated, the basis of the Chow ring. On the other hand, there exists a second basis found by Pittie and Steinberg of the Grothendieck ring of these varieties ; basis which is invariant under the action of the Galois group. The chapter II of the dissertation deals about known results about the combinatorics which give the expression of the structural sheaves of the Schubert varities in the Grothendieck ring, in the case of complete flag varieties associated to a vector space. It allows, following in particular works by Lascoux, to give a combinatorial expression of the basis change matrix between the two above basis. In the case of complete flag varieties in a vector space of dimension three, we give explicit resolutions of the structural sheaves of the Schubert varieties by mean of fibers of Pittie's basis. The Chow groups are well-known in codimension one and have been studied by Karpenko in codimension two in the case of Severi-Brauer varieties. The computation of motives of homogeneous projective varieties under the projective linear group associated to a simple central algebra over a field can be reduced, under some hypothesis to the computation of motives of generalized Severi-Brauer varieties, forms of grassmanians, as Calmès, Petrov, Semenov and Zainouline have shown. In chapter III, we construct explicit isomorphisms of varieties which allow us to reduce the computation of the Chow groups of these projective homogenous varieties to the computation of Chow groups of generalized Severi-Brauer varieties. The material described in the chapter III is used one more time in chapter IV to give a new proof of a result by Karpenko on the decomposition of the motive of the Severi-Brauer variety associated to a matrix algebra with coefficients in a simple central algebra.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (130 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. [124]-130

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  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TS06/GRE1/0142
  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS06/GRE1/0142/D
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