Jeux combinatoires sur les graphes

• Auteur / Autrice : Eric Duchêne
• Direction : Sylvain Gravier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Informatique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Grenoble 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Algorithmes

Mots clés libres

Jeux combinatoires

Résumé

Chacun d'entre nous s'est déjà essayé à un jeu combinatoire, tel que les dames ou les échecs. Les jeux les plus connus présentent le double avantage de mêler plaisir ludique et réflexion. L'intérêt que les mathématiciens leur porte réside souvent autour de la recherche d'une stratégie gagnante pour l'un des deux joueurs. Du jeu de Nim jusqu'aux échecs, la complexité de cette recherche est très variable. Dans cette thèse, nous donnons tout d'abord un aperçu des principales étapes du développement de ce domaine, qui a commencé au début des années 1900, et soulignons son étroite corrélation avec des domaines connexes tels que la théorie des nombres, des codes correcteurs d'erreur ou des graphes. Nous nous intéressons ensuite à des variantes de jeux bien connus : le Wythoff's game et le Dots and Boxes. Nous présentons et expliquons les stratégies et positions de jeu favorables au premier et au second joueur. Enfin, nous regardons une version solitaire d'un jeu récent à deux joueurs : le Clobber. Il s'agit d'un casse-tête qui se joue en posant des pierres sur les sommets d'un graphe, et dont le but est de détruire le plus de pierres possibles. Nous donnons des résultats structurels et algorithmiques sur les grilles, les arbres, ou encore les hypercubes.

Everyone has ever played a combinatorial game, such as chess or checkers. The interest of mathematicians about this subject is often related to the search of a winning strategy for one of both players. From the game of Nim to chess, the complexity of this search is very variable. In this manuscript, we firstly give a short view of the main stages of the topic, who really started in the beginning of the XXth century. Besides, we emphasize the correlation between combinatorial games and number theory, error-correcting codes, or graph theory. We then investigate some variations of « classical » combinatorial games : Wythoff's game and Dots and Boxes. We detail the strategy and « good » game positions for the first and the second player. We then consider a solitaire variation of a recent two-player game : Clobber. It is a one-player game, where stones are placed on the vertices of a given graph. A move consisting in removing a stone (under some conditions), the goal is to minimize the number of remaining stones at the end. We give structural and algorithmic results about this game played on grids, trees or hypercubes.