Empilements de sphères et bêta-entiers

Sphere packings and beta-integers

• Auteur / Autrice : Jean-Louis Verger-Gaugry
• Direction : Roland Gillard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Grenoble 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation diophantienne

Marcinkiewicz, Espaces de

Pavage (mathématiques)

Corps algébriques

Mots clés libres

Bêta-entier

Bêta-numération

Bêta-réseau

Quasi-cristal mathématique

Ensemble de Delone

Autosimilarité

Mesure de Mahler

Résumé

Les objets considérés dans cette thèse sont les empilements de sphères égales, principalement de Rn, et les beta-entiers, pour lesquels on utilise indifféremment le langage des empilements de sphères ou celui des ensembles uniformément discrets pour les décrire. Nous nous sommes concentrés sur les problèmes suivants : (i) aspects métriques et topologiques de l'espace des empilements de sphères pour lequels nous prouvons un théorème de compacité qui généralise le Théorème de Sélection de Mahler relatif aux réseaux, (ii) les relations entre trous profonds et la densité par la constante de Delone ainsi que la structure interne asymptotique, en couches, des empilements les plus denses, (iii) les empilements autosimilaires de type fini pour lesquels nous montrons, pour chacun, l'existence d'un schéma de coupe-et-projection associé à un entier algébrique (l'autosimilarité) dont le degré divise le rang de l'empilement, dans le contexte des quasicristaux mathématiques, (iv) les empilements de sphères sur beta-réseaux, dont l'étude a surtout consisté à comprendre l'ensemble discret localement fini Zbeta des beta-entiers et à proposer une classification des nombres algébriques qui complémente celle de Bertrand-Mathis, reportée dans un article de Blanchard, et où la mesure de Mahler de beta intervient naturellement.

Sphere packings, mostly in R^n, and beta-integers, are the objects considered in this thesis. They are indifferently described in the language of sphere packings or in that of uniformly discrete sets. We have considered the following problems: (i) metrical and topological aspects of the space of sphere packings for which we prove a compactness theorem which generalizes the Selection Theorem of Mahler relative to lattices, (ii) relationships between deep holes and density via the Delone constant and the internal asymptotic structure, by layers, of densest sphere packings, (iii) self-similar sphere packings of finite type for which we show, for each of them, the existence of a cut-and-project scheme associated with an algebraic integer (the self-similarity) the degree of which divides the rank of the packing, in the context of mathematical quasicrystals, (iv) sphere packings on beta-lattices whose study was mainly devoted to the understanding of the locally finite discrete set Zbeta of beta-integers and to propose a new classification of algebraic numbers which is complementary to that of Bertrand-Mathis, reported in an article by Blanchard, and where the Mahler's measure plays a natural rôle.