Reformulations quadratiques convexes pour la programmation quadratique en variables 0-1

par Marie-Christine Plateau

Thèse de doctorat en Recherche opérationnelle

Sous la direction de Alain Billionnet et de Sourour Elloumi.

Soutenue en 2006

à Paris, CNAM .


  • Résumé

    Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la résolution exacte de problèmes d'optimisation en variables 0-1 (notés (Q01)), comportant une fonction objectif quadratique soumise à des contraintes linéaires. Les problèmes de bipartition de graphe, d'affectation quadratique, du sac-à-dos quadratique en sont des exemples très connus et amplement étudiés dans la littérature de l'optimisation combinatoire. On les rencontre également, de façon plus concrète, dans les domaines scientifiques, économiques et industriels tels que le choix d'investissements, la gestion de portefeuilles, la conception de réseaux, le transport, etc. Malgré des travaux pionniers datant de plus de vingt ans, les problèmes non linéaires en variables bivalentes demeurent en général mal résolus. Parvenir à résoudre les programmes (Q01) de grande taille représente donc un enjeu très important. Le but de cette thèse est de proposer des méthodes originales et efficaces de résolution exacte des programmes (Q01). Plus précisément, notre approche prinicpale consiste en une reformulation quadratique convexe du problème initial dans le but d'utiliser les méthodes générales de résolution des programmes quadratiques convexes en variables entières. Cette approche peut être comparée, dans son esprit, à la reformulation de problèmes non linéaires en variables 0-1 par des problèmes linéaires en variables mixtes, technique étudiée depuis longtemps et connue sous le nom de linéarisation. Une partie de notre travail est consacrée à la présentation d'une nouvelle reformulation linéaire des programmes d'optimisation quadratique en 0-1. Dans les deux cas, les problèmes reformulés peuvent être résolus par des solveurs standards de programmes en variables mixtes. Nous présentons également de nombreuses expérimentations de notre reformulation quadratique convexe concernant trois problèmes non convexes classiques de l'optimisation combinatoire (le problème de bipartition, du sous-graphe le plus dense et un problème de minimisation d'échange d'outils). Les expérimentations montrent l'intérêt de l'approche : dans la plupart des cas, sur les instances étudiées, la méthode proposée est nettement plus efficace que les méthodes connues à ce jour. Des résultats expérimentaux sont également présentés, concernant trois problèmes convexes (le problème de plus court chemin probabiliste, un problème d'investissements, un problème d'ordonnancement). Notre approche peut également se révéler, dans certains cas, très intéressante.

  • Titre traduit

    Convex quadratic reformulations for exact solution of 0-1 quadratic programs


  • Résumé

    In this work, we are interested in exact solutions of 0-1 optimization problems, with a quadratic objective function and linear constraints (denoted by (Q01)). (Q01) allows to formulate numerous important problems in combinatorial optimization including, for example, quadratic assignment, graph partitionning, quadratic knapsack problems. Moreover, it appears in scientific, industrial and economic fields such that portfolio selection, task allocation. To manage to solve large (Q01) problems represents a very important stake. The aim of this thesis is to propose original and efficient exact exact solution methods of (Q01). More precisely, our approach - that we call QCR: Quadratic Convex Reformulation - consist in reformulating (Q01) by an equivalent 0-1 quadratic program with a convex objective function. Consequently, we can solve the transformed problem using a general purpose optimization software. This approach can be compared, in its spirit, with reformulations of 0-1 quadratic problems into linear problems with mixed variables, i. E. Linearization. A part of our work is devoted to the presentation of a new linear reformulation of 0-1 quadratic programs. These reformulated problems can be solved by standard softwares. We present also numerous experiments of our quadratic convex reformulation on three non convex classical combinatorial optimization problems showing the interest of the approach: QCR is generally more efficient than the state-of-the-art methods. Other experiments on three convex problems allow to conclude that QCR appears very interesting in certain cases.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (140 p.)
  • Annexes : Bibliographie p. 175-186

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  • Bibliothèque : Conservatoire national des arts et métiers (Paris). Bibliothèque Centrale.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : Th A 545
  • Bibliothèque : Conservatoire national des arts et métiers (Paris). Bibliothèque Centrale.
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  • Cote : Th A 545 double
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