Problèmes avec singularités sur la frontière pour des équations elliptiques

par Marius Ghergu

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Ioan R. Ionescu.

Soutenue en 2006

à Chambéry .


  • Résumé

    Dans cette thèse nous présentons l'étude des quelques problèmes elliptiques avec singularités sur la frontière. La première partie est consacrée à l'étude des solutions explosives pour des problèmes elliptiques semi-linéaires avec terme de gradient. Nous établissons dans ce contexte des résultats d'existence et non existence des solutions au sens classique pour ce type de problèmes et pour le système associé. Ces résultats sont obtenus dans l'absence de la condition de Keller-Osserman et en supposant que les non linéarités ont une croissance sous-linéaire à l'infini. Nous mettons en évidence l'importance du terme de gradient dans l'existence d'une solution explosive. Dans la deuxième partie nous considérons des problèmes elliptiques semi-linéaires avec des non linéarités singulières dans un domaine borné. Nous étudions l'existence, l'unicité, la bifurcation par rapport aux paramètres ainsi que le comportement de la solution autour du point de bifurcation. Nous démontrons que le taux de décroissance de la non linéarité singulière autour de l'origine joue un rôle important dans l'existence d'une solution classique. Nous étudions également l'influence du terme de gradient sous-quadratique dans ces problèmes. Les démonstrations reposent sur la méthode de sur et sous-solution et le principe du maximum. Combinée avec diverses techniques pour les équations singulières. Dans la troisième partie de la thèse nous étudions l'interaction des bâtiments et du sol pendant un événement sismique dans un ville fortement urbanisée. L'approche sera basée sur une analyse spectrale du problème qui nous permet de mettre en évidence le comportement collectif des bâtiments qui interagissent par l'intermède du sol. Les difficultés du problème résident dans la présence des singularités qui apparaissent entre la surface de la terre et les fondations des bâtiments. Une simulation numérique de l'effet "9/11" sur les vibrations de la ville nous a permis de montrer que une perturbation dans un bâtiment peut se transmettre aux autres par l'intermède du sol. Nous avons fait aussi une étude asymptotique sur les fréquences propres de la ville par rapport aux nombres des bâtiments.

  • Titre traduit

    Elliptic problems with singularities at the boundary


  • Résumé

    This work concerns the study of elliptic problems with singularities at the boundary. The first part deals with blow-op solutions for semilinear elliptic problems with gradient term. In this sense we establish some existence and nonexistence results for this kind of problems and for the associated elliptic systems. These results are obtained in the absence of the Keller-Osserman condition and assuming that the nonlinearities have a sublinear growth at infinity. We also point out the role played by the gradient term in the existence of a blow-up solution. The second part of the thesis concerns semilinear eliptic problems with singular nonlinearities. We are interested in existence, uniqueness and bifurcation with respect to the parameters. In the presence of asymptotically linear terms we establish a blow-up result for the solution around the bifurcation parameter. In the last chapter of this part we analyse the influence of the subquadratic gradient term. The proofs relies on the sub and super-solution method, combined with different techniques for singular elliptic equations. In the third part of this work we emphasize the collective behavior of a multi-building system subjected to time dependent impacts representing earthquakes, collisions and explosions. The approach is based on the spectral analysis of the problem combined with integral methods. The difficulty consists in the presence of the singularities at the end of the buildings foundations. An asymptotic study on the first frequency with respect to the number of the buildings is also presented.

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Informations

  • Détails : 1 vol., (121 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. (119 réf.)

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  • Bibliothèque : Université Savoie Mont Blanc (Le Bourget-du-Lac, Savoie). Service commun de la documentation et des bibliothèques universitaires. Section Sciences.
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