Construction et propriétés de solutions pour des équations dispersives focalisantes

par Raphaël Côte

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Frank Merle.

Soutenue en 2006

à l'Université de Cergy-Pontoise .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions quelques propriétés de solutions d'équations aux dérivées partielles dispersives focalisantes. On étudie deux types d'équations. Dans un premier temps, nous étudions les équations de Korteweg-de Vries généralisées (gKdV). Étant donnée une solution de l'équation de Korteweg-de Vries linéaire, nous construisons une solution de (gKdV) qui se comporte ainsi pour des temps grands. Étant également donnés N solitons (ondes solitaires solutions de (gKdV)), nous construisons, dans les cas L2-critique et sous-critique, une solution de (gKdV) se comportant comme la somme de ces N solitons et de la solution linéaire. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons au système des wave maps en dimension. Critique (1+2) : c'est un modèle simple d'équation des ondes dans un cadre géométrique. Nous montrons que les fonctions harmoniques (wave maps stationnaires) sont instables dans l'espace d'énergie, en un sens fort, pour ce système.


  • Résumé

    In this work we study sorne properties of solutions to dispersive focalizing partial differential equations. We study two types of equations. In chapters 2 to 4, we study the generalized Korteweg-de Vries equations (gKdV). Given a solution to the linear Korteweg-de Vries equation, we construct a solution to (gKdV) which behaves like this for large times. Given N solitons solutions (stationnary wave solutions to (gKdV)), we construct in the L2-critieal and sub-critieal cases, a solution to (gKdV) which behaves like the sum of these solitons and of the linear solution. In chapter 5, we are interested in the wave map system in critical dimension (1+2) : this is a simple model for the wave equation in a geometrieal background. We prove that harmonie functions (stationnary wave maps) are instable in the energy space, in a strong sense, for this system.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (174 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.171-174.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Cergy-Pontoise. Bibliothèque universitaire. Site de Saint-Martin.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS CERG 2006 COT
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