Recherche Avancée

Thèse soutenue

Aspects effectifs d'analyse diophantienne

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Mourad Abouzaid
Direction : Henri Cohen, Yuri Bilu
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et informatique. Mathématiques pures
Date : Soutenance en 2006
Etablissement(s) : Bordeaux 1

Résumé

FR

Cette thèse traite de trois problèmes diophantiens distincts. Le premier chapitre est consacré à l’étude des diviseurs premiers de suites d’entiers connues sous le nom de nombres de Lucas et des nombres de Lehmer. Un théorème de Yu. BILU, G. HANROT et P. M. VOUTIER nous assure qu’à partir d’un certain rang (indépendent de la suite choisie, et explicite), tout nombre de Lucas (resp. De Lehmer ) admet un “nouveau” diviseur premier. Dans ce premier chapitre, nous complétons la liste des cas pathologiques commencée par P. M. VOUTIER d’une part et Yu. BILU, G. HANROT et P. M. VOUTIER d’autre part. Le second chapitre est pr´eparatoire. Dans celui-ci, nous mettons en place deux outils fondamentaux pour la résolution effective de certaines classes d’équations diophantiennes : les hauteurs de Weil et les séries de Puiseux. Dans le troisième chapitre, on s’intéresse aux équations algébriques du type F(x, y) = 0 o`u le polynôme F vérifie F(0, 0) = 0. Un théorème de Skolem montre que ces équations n’admettent qu’un nombre fini de solutions entières à pgcd fixé. Après avoir généralisé la notion de pgcd aux nombres algébriques, nous établissons un théorème effectif donnant la taille maximale des solutions algébriques des équations du type Skolem. Enfin, le quatrième et dernier chapitre de cette thèse est consacré à l’étude des équations de Thue généralisées. Celui-ci a en 1909 que si F(X, Y ) était une forme homogène à coefficients entiers, irréductible sur Q et de degré n # 3, alors les équations F(x, y) = A pour A 2 Z\{0} n’admettaient chacune qu’un nombre fini de solutions entières. La encore, nous nous sommes attaché à généraliser le problème initial en considérant les équations du type NL/K(F(x, y)) = A où K est un corps de nombres donné, L est une extension finie de K de degré n # 3, NL/K est la norme relative de L sur K, F est un polynôme à coefficients dans L et A 2 K#. Nous établissons encore une fois une borne effective pour la taille des solutions S-entières de ce type d’équations. Ce dernier chapitre est le fruit d’un travail effectué conjointement avec A. Berczes et Yu. Bilu.