Quantified real constraint solving using modal intervals with applications to control

par Pau Herrero Vina︢s

Thèse de doctorat en Automatique et informatique appliquée

Sous la direction de Luc Jaulin.

Soutenue en 2006

à Angers .


  • Résumé

    Les contraintes réelles quantifiées (QRC) forment un formalisme mathématique utilisé pour modéliser un très grand nombre de problèmes physiques dans lesquels interviennent des systèmes d'équations non linéaires sur des variables réelles, certaines d'entre elles pouvant être quantifiées. Les QRCs apparaissent dans nombreux contextes comme, l'Automatique, le Génie Electrique, le Génie Mécanique, et la Biologie. La résolution de QRCs est un domaine de recherche très actif pour lequel deux approches radicalement différentes sont proposées: l'élimination symbolique de quantificateurs et les méthodes approximatives. Cependant, la résolution de problèmes de grandes dimensions et la résolution du cas général, restent encore des problèmes ouverts. Dans le but de contribuer à la résolution de QCRs, cette thèse propose une nouvelle méthodologie approximative basée sur l'Analyse par Intervalles Modaux (MIA), une théorie mathématique développée par des chercheurs de l'université de Barcelone et de l'université de Girone. Cette théorie permet de résoudre d'une façon élégante une grande classe de problèmes dans lesquels interviennent des quantificateurs logiques sur des variables réelles. Parallèlement, ce travail a comme but de promouvoir l'utilisation de l'Analyse par Intervalles Modaux pour résoudre des problèmes complexes, comme sont les QRCs. La théorie de MIA est relativement confidentielle du fait de sa complexité théorique relative et du fait d'une formulation mathématique peu usuelle. Cette thèse essaie de lever cette barrière en présentant la théorie d'une façon plus intuitive à travers des exemples et des analogies provenant de la théorie classique de l'analyse par intervalles. La méthodologie proposée a été implémentée informatiquement et validée à travers la résolution de nombreux problèmes de la littérature, et les résultats obtenus ont été comparés avec différentes techniques de l'état de l'art. Enfin, il a été montré que l'approche présentée apporte des améliorations en étendant la classe de QRCs qui peut être traité et en améliorant les temps de calcul pour quelques cas particuliers. Tous les algorithmes présentés dans ce travail sont basés sur un algorithme développé dans le cadre de cette thèse et appelé f* algorithme. Cet algorithme permet la réalisation de calculs par intervalles modaux de fa¸con très simple, ce qui aide à l'utilisation de la théorie de MIA et facilite sa diffusion. Dans le même but, un site Internet a été créé afin de permettre l'utilisation de la plupart des algorithmes présentés dans la thèse. Finalement, deux applications à l'Automatique sont présentées. La première application faite référence au problème de la détection de défauts dans des systèmes dynamiques, laquelle a été validée sur des systèmes réels. La deuxième application consiste en la réalisation d'un régulateur pour un bateau à voile. Ce dernier a été validé sur simulation.


  • Résumé

    A Quantified Real Constraint (QRC) is a mathematical formalism that is used to model many physical problems involving systems of nonlinear equations linking real variables, some of them affected by logical quantifiers. QRCs appear in numerous contexts, such as Control Engineering, Electrical Engineering, Mechanical Engineering, and Biology. QRC solving is an active research domain for which two radically different approaches are proposed: the symbolic quantifier elimination and the approximate methods. However, solving large problems within a reasonable computational time and solving the general case, still remain open problems. With the aim of contributing to the research on QRC solving, this thesis proposes a new approximate methodology based on Modal Interval Analysis (MIA), a mathematical theory developed by researchers from the University of Barcelona and from the University of Girona. This methodology allows solving in an elegant way, problems involving logical quantifiers over real variables. Simultaneously, this work aims to promote the use of MIA for solving complex problems, such as QRCs. The MIA theory is relatively confidential due to its theoretical complexity and due to its nonconventional mathematical notation. This thesis tries to raise this barrier by presenting the theory in a more intuitive way through examples and analogies from the classical Interval Analysis approach. The proposed methodology has been implemented and validated by resolving several problems from the literature, and comparing the obtained results with different state-of-the-art techniques. Thus, it has been shown that the presented approach extends the class of QCRs that can be solved and improves the computation time in some particular cases. All the presented algorithms in this work are based on an algorithm developed in this thesis and called Fstar algorithm. This algorithm allows the computation with Modal Intervals in an easy way, something that helps to the utilization of MIA and facilitates its diffusion. With this purpose, an Internet site has been created to allow the utilization of most of the algorithms presented in this thesis. Finally, two control engineering applications are presented. The first application refers to the problem of fault detection in dynamic systems and has been validated from experiments involving actual processes. The second application consists of the realization of a controller for a sailboat. This last one has been validated using simulation.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (xix-223 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 211-223

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  • Bibliothèque : Université d'Angers. Service commun de la documentation. Section Lettres - Sciences.
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