Contribution aux modèles non paramétriques conditionnels pour variables explicatives fonctionnelles

par Ali Laksaci

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées. Statistique

Sous la direction de Philippe Vieu et de Frédéric Ferraty.

Soutenue en 2005

à Toulouse 3 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier le problème de la modélisation non paramétrique lorsque les données statistiques sont des courbes. Plus précisément, nous nous intéressons à des problèmes de prévision à partir d'une variable explicative à valeurs dans un espace de dimension infinie, et nous cherchons à développer des alternatives à la méthode de régression. En effet, on suppose qu'on dispose d'une variable aléatoire réelle (réponse), notée Y, et d'une variable fonctionnelle (explicative), notée $$X$$. Le modèle non paramétrique utilisé pour étudier le lien entre X et Y concerne la distribution conditionnelle dont la fonction de répartition (resp. Densité), notée F (resp. F), est supposée appartenir à un espace fonctionnel approprié. Dans un premier temps, on considère une suite d'observations i. I. D. Dans ce contexte, nous construisons des estimateurs par la méthode du noyau pour la fonction de répartition conditionnelle, la densité conditionnelle et ses dérivées. On établit la vitesse de convergence presque complète de ces estimateurs. On déduit des estimateurs précédents ceux pour estimer le mode conditionnel et les quantiles conditionnels, pour lesquels, on donne la vitesse de convergence presque complète. Dans un second temps, nous supposons que les observations sont fortement mélangeantes et nous nous fixons comme objectif l'estimation du mode conditionnel. Nous étudions les propriétés asymptotiques de cet estimateur, en donnant l'expression de sa vitesse de convergence. Ce résultat peut être utilisé pour le problème de la prévision en série chronologique. Notre étude met en évidence le phénomène de concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle sur des petites boules. Plus précisément, des hypothèses portant sur les probabilités de petites boules nous permettent de proposer une solution originale au problème du fléau de la dimension et ainsi de généraliser à la dimension infinie de nombreux résultats asymptotiques existant dans le cas multivarié. De plus, en utilisant les nombreux résultats récents en théorie des probabilités sur les petites boules, on précise nos résultats pour de nombreux processus à temps continu. L'originalité de cette thèse est qu'elle aborde et développe aussi bien des aspects pratiques que théoriques. Nos méthodes sont appliquées à des données réelles de type spectrométrique ou de pollution.

  • Titre traduit

    Contribution the conditional nonparametric models for functional explanatory variable


  • Résumé

    In this thesis, we study the problem of a nonparametric modelization when the data are curves. Indeed, we consider real random variable (named response variable) noted Y, and a functional variable (explanatory variable) noted X. The nonparametric model used to study the relation between X and Y is the conditional distribution function noted F which has a density f. Both F and f are supposed to belong to some suitable functional spaces. Firstly, we consider a sequence of i. I. D observations. In this context, we build kernel estimators of the conditional distribution function, the conditional density and its sucessive derivatives. We establish the almost complete convergence rate of these estimators. We use these results in order to study the conditional mode and the conditional quantiles and we give also the almost complete convergence rate of their estimators. Secondly , we suppose that the observations are strongly mixing and we focus on the estimate of the conditional mode. We quantify the asymptotic properties of this estimator, by giving the convergence rate. This result can be used to the prediction problem in functional time series. Our study highlights the phenomenon of concentration properties on small balls of the probability measure of the functional variable. More precisely, these ideas are used to give a statistical solution to curse of dimension and to generalize to infinite dimension many asymptotic results existing in the multivariate case. Moreover, by using recent results in the probability theory of small balls we can see that our results include many time continuous processes. . .

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Informations

  • Détails : 1 vol. ( 100 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 95-100

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paul Sabatier. Bibliothèque universitaire de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2005TOU30158
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