Identification de paramètres par approche inverse pour une équation de diffusion

Parameters identification by inverse approach for a diffusion equation

• Auteur / Autrice : Mohamed Hayek
• Direction : Philippe Ackerer, Eric Sonnendrücker
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Strasbourg 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Estimation de paramètres

Optimisation mathématique

Problèmes inverses

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Indicateurs de raffinement

Résumé

De nombreux processus modélisés par des équations aux dérivées partielles, en particuliers les problèmes spatialisés, comportent de nombreux paramètres dont on n'a pas la connaissance. La plupart ne peuvent pas être accessible par la mesure physique directe soit en raison des coûts nécessaires, soit encore parce que l'échelle de mesure pertinente est inconnue ou inadaptée au problème posé. Dans ce contexte général, le problème inverse devient une étape indispensable à toute modélisation pertinente. Ce travail redéfinit le problème inverse et les principales difficultés inhérentes aux modèles spatialement distribuées. Tant du point de vue théorique que du point de vue algorithmique une des difficultés est de savoir définir l'espace des paramètres. La façon la plus courante est de les considérer constant par zone géométrique. L'ensemble du domaine d'études étant divisé en zones. On peut alors distinguer deux problématiques : ou bien les zones sont définies à priori, ou bien la zonation fait partie des inconnues du problème inverse. Ce travail est axé sur ce second problème pour lequel nous proposons un algorithme basé sur les indicateurs de raffinement pour déterminer la géométrie des zones ainsi que les valeurs du paramètre dans chaque zone. Un nouvel indicateur de raffinement a été développé afin de réduire le temps de calcul.

Numerous processes modeled by partial differential equations, particularly the spatially-distributed ones, need parameters that are a priori unknown. Most of these parameters cannot be measured directly due to prohibitive costs or because the relevant scale of measure is unknown or incompatible with the addressed problem. In this general framework, inverse approaches become a key step to clever modeling. This work revisits the inverse problem and atavistic difficulties associated with spatially distributed models. From both theoretical and numerical standpoints, a major difficulty is to define the parameter space in which a solution is sought. This definition, also referred to as parameterization if commonly handled by means of sub-areas of the modeled domain over which the parameter is constant in each zone but different between zones. Then two possibilities arise : in the first-one, the geometry of the sub-areas is predefined, in the second-one, the zoning is an unknown of the inverse problem. The second way has been explored in this work and an algorithm has been developed using "refining indicators" to design the geometry as well as the parameter value in each zone. A new form of indicator is also developed to reduce computation costs.