Singularités en optique non-linéaire : étude mathématique : thèse pour le doctorat en sciences spécialité Mathématiques

par Gilles Cabart

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Satyanad Kichenassamy.

Soutenue en 2005

à Reims .


  • Résumé

    L'objet de cette thèse est l'étude de deux équations des ondes semi-linéaires présentant une non-linéarité de type cubique : (NLCR) \Box u = 2u3, et (NLCC) \Box u +α ðu/ðz = 2 u|u|^2+ßu, où α est imaginaire pur et ß réel. On prouve d'abord, en s'appuyant sur les techniques de réduction Fuchsienne développées par S. Kichenassamy et al. , l'existence, pour plusieurs classes d'hypersurfaces de genre espace de R×Rn assez régulières, de solutions explosant exactement sur la surface considérée. Par ailleurs, l'aspect constructif des méthodes nous offre de nombreuses informations sur la forme de ces solutions au voisinage de leur surface d'explosion. La suite est consacrée à diverses applications des connaissances acquises : on exploite notamment celles concernant le comportement des solutions près de leur lieu d'explosion, pour répondre partiellement à trois questions: 1) Comment se comporte, près de la surface d'explosion, une intégrale particulière construite sur le modèle de l' "intégrale d'énergie" canoniquement associée avec l'équation (NLCR) ? 2) Dans quels espaces de type Lp, les solutions de l'équation (NLCR) - éventuellement un peu perturbée - peuvent-elles exploser ou pas ? 3) Dans quelle mesure peut-on mettre en oeuvre une étude numérique complète de l'équation (NLCR), prenant en compte les difficultés inhérentes à l'explosion ?


  • Résumé

    This thesis is aimed at studying two semilinear wave equations with cubic nonlinearity : (NLCR) \Box u = 2 u^3, and (NLCC) \Box u +\alpha du/dz = 2 u|u|^2+\beta u, where \alpha \in i \R ans \beta \in \R. First, one prooves, for several space-like hypersurfaces of a particular kind, the existence of solutions blowing-up exactly on each prescribed manifold. To this purpose, one builds solutions using Fuchsian reduction tools developped by S. Kichenassamy and al. . The construction of those solutions provides informations about their behaviour the vicinity of blow-up. Afterwards, one took advantage of that obtained knowledge in order to partly study three problems : 1) What is the behaviour, near blow-up, of a particular integral built on the model of the so-called "energy integral" associated with the equation (NLCR) ? 2) In which Lp spaces does a solution of the equation (NLCR) - possibly with a small perturbation - blow-up ? 3) To what extent can we run a complete numerical study of the equation (NLCR), which would deal with the blow-up ?

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Informations

  • Détails : 118 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 117

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Reims Champagne-Ardenne. Bibliothèque universitaire. Bibliothèque Moulin de la Housse.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 05REIMS002
  • Bibliothèque : Université de Reims Champagne-Ardenne. Bibliothèque universitaire. Bibliothèque Moulin de la Housse.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 05REIMS002Bis
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