Corps de fonctions algébriques et algorithme de D. V. Chudnovsky et G. V. Chudnovsky pour la multiplication dans les corps finis

par Jean Chaumine

Thèse de doctorat en Mathématiques et fondements de l'informatique

Sous la direction de Jean-Marie Goursaud.

Soutenue en 2005

à l'Université de Polynésie française .


  • Résumé

    Le thème principal de cette thèse est l'étude de la complexité bilinéaire mq(n) de la multiplication dans tout corps fini Fqn, où q est une puissance d'un nombre premier p. Actuellement, les meilleures bornes connues sont obtenues à partir d'algorithmes de multiplication par interpolation sur des courbes algébriques, de type D. V. Chudnovsky et G. V. Chudnovsky. En particulier, en spécialisant ce type d'algorithme aux courbes elliptiques, M. A. Shokrollahi a déterminé la complexité bilinéaire de la multiplication dans certaines extensions de degré n de tout corps fini Fq. De plus, en étudiant ce type d'algorithme appliqué à des courbes algébriques de genre quelconque, S. Ballet et R. Rolland ont obtenu des bornes de la complexité bilinéaire dans toute extension de corps fini Fq. Dans la première partie de cette thèse, à partir de l'existence d'une tour de corps de fonctions, construite par A. Garcia, H. Stichtenoth et H. -G. Rück, on améliore les bornes supérieures de la complexité bilinéaire de la multiplication dans les extensions de Fp2 et de Fp où p≥5. , ainsi que la borne asymptotique supérieure de cette complexité dans le cas des corps finis premiers Fp, avec p≥5. Dans la seconde partie, on démontre l'existence d'une courbe elliptique E ayant certaines propriétés, en utilisant la structure de groupe abélien de l'ensemble de ses points rationnels. On améliore ainsi un résultat obtenu par M. A. Shokrollahi, en montrant que, pour certaines valeurs de n, on a encore mq(n) = 2n.

  • Titre traduit

    Algebraic function fields and D. V. Chudnovsky and G. V. Chudnovsky algorithm for multiplication in finite fields


  • Résumé

    The main subject of this thesis is the study of the bilinear complexity mq(n) of multiplication in any finite field Fqn, where q is a prime power. Nowadays, the best known bounds are obtained from algorithms of multiplication by interpolation on algebraic curves, of type D. V. Chudnovsky and G. V. Chudnovsky. In particular, by specializing this type of algorithm on elliptic curves, M. A. Shokrollahi has determined the bilinear complexity of multiplication in some extensions of degree n of all finite field Fq. Moreover, by studying this type of algorithm applied to algebraic curves of arbitrary genus g, S. Ballet and R. Rolland have obtained upper bounds of bilinear complexity in all the extensions of the finite fields Fq. In the first part of this thesis, from the existence of a tower of function fields, studied by A. Garcia, H. Stichtenoth and H. -G. Rück, we improve upper bounds on the bilinear complexity of multiplication in any extension of Fp2 and Fp of characteristic p≥5. And also asymptotic upper bounds on this complexity for prime finite fields Fp of characteristic p≥5. In the second part, we prove the existence of an elliptic curve E satisfying some properties, by using the abelian group structure of the set of rational points on E. We improve a result obtained by M. A. Shokrollahi, by proving that, if n is an integer such that, for some n, we still have mq(n) = 2n.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (93 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 89-93

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de la Polynésie française. Bibliothèque universitaire.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS 2005 CHA
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