Fiabilité des algorithmes numériques : pseudosolutions structurées et précisions

Reliability of numerical algorithms : structured pseudosolutions and accuracy

• Auteur / Autrice : Stef Graillat
• Direction : Philippe Langlois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Perpignan
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Énergie environnement (Perpignan ; 1999-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre linéaire

Calcul formel

Arithmétique interne des ordinateurs

Analyse numérique matricielle

PI-algèbres

Algorithmes

Résumé

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur la stabilité et la précision de certains algorithmes numériques. Les contributions de cette thèse se situent à quatre niveaux : 1) Amélioration de la précision : on propose un algorithme de Horner compensé qui calcule un résultat avec la même précision que si il avait été calculé par le schéma de Horner classique, mais avec une précision interne doublée. 2) Applications des pseudoze��ros : on propose des application de pseudozéros en calcul formel (primalité approchée) et en théorie du contrôle (rayon de stabilité et pseudoabscisses). 3) Prise en compte des perturbations réelles : on donne des formules calculables pour le conditionnement réel et l'erreur inverse réelle pour des problèmes de l'évaluation polynomiale et le calcul de racines. Nous montrons qu'il y a peu de différences entre le conditionnement réel et le conditionnement classique. Néanmoins, nous montrons que l'erreur inverse réelle peut être significativement plus grande que l'erreur inverse classique. 4) Perturbations matricielles structurées : nous étudions la notion de pseudospectre structuré pour les matrices Toeplitz, circulantes et Hankel. Nous montrons qu'il n'y a pas de différence entre le pseudospectre structuré et le pseudospectre classique. Nous étudions aussi des conditionnements pour les systèmes linéaires et l'inversion matricielle pour des structures dérivant d'algèbres de Lie et de Jordan. Nous étudions pour quelles sous-classes de ces structures il n'y a pas ou peu de différences entre les conditionnements structurés et non structurés.

The result summarized in the document deal with the stability and accuracy of some numerical algorithms. The contributions of this work are divided into four levels : 1) Improvement of the accuracy : we prensent a compensated Horner scheme that computes a result as if computed in twice the working précision. 2) Applications of pseudozero set : we propose some applications of pseudozeros in computer algebra (approximate coprimeness) and in control theory (stability radius and pseudoabscissa). 3) Real perturbations : we give computable formulas for the real condition number and real backward error for the problem of polynomial evaluation and the computation of zeros. We show that there is little difference between the real and complex condition numbers. On the contrary, we show that the real backward error can be significantly larger than the complex one. 4) Structured matrix perturbation : we study the notion of structured pseudospectra for Toeplitz, Hankel and circulant matrices. We show for this structures there is no difference between the structured and the unstructured pseudospectra. We also study structured condition number for linear systems, inversions and distance to singularity for structures deriving from Lie and Jordan algebras. We show that under mild assumptions there is little or no difference between the structured and the unstructured condition numbers.