Orbites périodiques dans des domaines minces

Periodic orbit in thin domains

• Auteur / Autrice : Bouthaina Abdelhedi
• Direction : Geneviève Raugel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Équations différentielles hyperboliques

Mots clés libres

Equation hyperbolique

Equation parabolique

Variétés stables et instables

Résumé

Cette thèse a pour objet l'étude des solutions périodiques dans des domaines minces et le comportement asymptotique au voisinage d'une orbite périodique. A travers deux exemples, on étudie la persistance de solutions périodiques sous perturbation de domaine (système d'équations paraboliques, système d'équations des ondes avec dissipation faible). On montre que si le système d'équations limite admet une solution périodique non dégénérée, alors le système d'équations sur le domaine mince admet une solution périodique unique proche de celle du problème limite et de plus petite période proche de celle du problème limite. On montre notamment que la solution périodique du problème perturbé converge vers la solution périodique du problème limite. Dans la deuxième partie, on étudie la dynamique au voisinage de l'orbite périodique d'un système d'équations des ondes avec dissipation faible dans un domaine mince. On commence par étudier, dans le cadre d'une équation d'évolution abstraite, la structure des variétés locales stables et instables au voisinage d'une orbite périodique hyperbolique. On montre que la variété instable est donné par le graphe d'un difféomorphisme. On applique ensuite ces résultats au système d'équations des ondes autonome avec dissipation faible dans un domaine mince. Ensuite, on compare la variété instable locale au voisinage de l'orbite périodique du problème perturbé avec celle du problème limite. Enfin, on donne une estimation de la distance entre ces deux variétés locales instables.

This thesis deals with the existence of periodic solutions in thin domains and the asymptotic behavior near this periodic solution. Through two examples, we study the persistence of periodic solutionsunder domain perturbation (system of a parabolic equations, system of damped wave equations). We show that, if the limit problem has a non-degenerate periodic solution then there exists a unique periodic solution of the perturbed problem near the periodic orbit of the limit equation, with period near the limit period. Moreover, we show that the periodic solution of the perturbed problem converges to the periodic solution of the limit problem. In the second part, we study the dynamical behavior near the periodic orbit of the damped wave equations in thin domain. First, we study the behavior near a periodic orbit of solutions of an abstract evolutionary equation. In particular, we prove that the local stable (unstable) manifold near the periodic orbit is the graph of a diffeomorphisme. Then, we apply this result to the autonomous damped wave equation in a thin domain. We compare the local unstable manifolds of the periodic orbits of the perturbed and the limit problems.