Modélisation et identification de systèmes non-linéaires à l'aide de modèles de volterra à complexité réduite

par Anis Khouaja

Thèse de doctorat en Automatique, traitement du signal et de l'image

Sous la direction de Gérard Favier et de Hassani Messaoud.

Soutenue en 2005

à Nice .


  • Résumé

    The identification of the non-linear dynamic systems from a set of input/output data is of a fundamental importance for the practical applications since a lot of physical systems possess non linear characteristics. The structure of the Volterra model can be used to represent a general class of non linear systems. However, the use of such a representation is often limited because of the huge number of parameters relative to such a structure. To overcome this inconvenience, several solutions are proposed in this thesis. The first uses expansions of the different kernels on orthogonal bases functions. The second is based on the use of techniques calling on reduced-order decompositions of the tensors associated to the kernels of order superior or equal to three. Various bases of functions (Laguerre, Kautz and Generalized Orthogonal Bases (BOG)) are first studied then to use them for the modelling the linear systems then for the representation of the kernels of the Volterra models. The problem of identification includes several parts: determination of the poles of the orthogonal bases functions, the order of the kernel developments, the Fourier coefficients of the development and the relative uncertainty to these coefficients. A state representation associated to a development on a Generalized Orthogonal Basis is developed and then used for the construction of the output predictor of the system to be modelled. Then, several tensorial decompositions are studied. The PARAFAC decomposition is specially considered. Reduced complexity Volterra models inspired from this technique are proposed. While considering the quadratic Volterra kernel as a matrix and the other kernels as tensors of orders superior to two, we use a singular value decomposition for the quadratic kernel and the PARAFAC decomposition for the kernels of orders superior to two in order to construct a new model called SVD-PARAFAC based Volterra model. A new algorithm called ARLS (Alternating Recursive Least Squares) is presented. This algorithm essentially based on the technical RLS applied in an alternate manner estimates the parameters of such Volterra models. Finally, new methods of robust identification called bounded error techniques are presented. They are used for the identification of linear models based on an expansion on a GOB, this work aims to use the results found lately for uncertain linear systems in the case of the uncertain non linear systems. One of the techniques of identification, the polytopic approach is especially considered. This approach allows to estimate the uncertainty intervals of the Fourier coefficients of the expansion on the different GOBs studied. The polytopic approach is also used in order to identify the uncertainty intervals of the parameters of the SVD-PARAFAC based Volterra model. The proposed methods allows to achieve an important numeric complexity reduction and a considerable gain in time calculation.

  • Titre traduit

    Modelling and identification of non-linear systems using reduced complexity volterra models


  • Résumé

    L'identification des systèmes dynamiques non linéaires à partir d'un ensemble de données entrée/sortie est d'une importance fondamentale pour les applications pratiques puisque beaucoup de systèmes physiques possèdent des caractéristiques non linéaires. La structure du modèle de Volterra peut être utilisée pour représenter une classe générale de systèmes non linéaires. Cependant, l'usage pratique d'une telle représentation est souvent limité à cause du grand nombre de paramètres associé à une telle structure. Pour pallier à cet inconvénient, plusieurs solutions sont proposées dans cette thèse. La première utilise des développements en série des différents noyaux sur des bases de fonctions orthogonales. La deuxième est basée sur l'utilisation de techniques faisant appel à des décompositions d'ordre réduit des tenseurs relatifs aux noyaux d'ordre supérieur ou égal à trois. Diverses bases de fonctions (Laguerre, Kautz et Bases Orthogonales Généralisées (BOG)) sont tout d'abord étudiées en vue de leur utilisation pour la modélisation des systèmes linéaires puis pour la représentation des noyaux de modèle de Volterra. Le problème d'identification comporte plusieurs volets : détermination des pôles caractéristiques des bases de fonctions orthogonales, de l'ordre des développements des différents noyaux, des coefficients de Fourier du développement et de l'incertitude relative à ces coefficients. Une représentation d'état associée à un développement sur une base de fonctions orthogonales généralisées est développée puis utilisée pour la construction de prédicteurs de la sortie du système ainsi modélisé. Ensuite, plusieurs décompositions tensorielles sont étudiées. La décomposition PARAFAC est plus particulièrement considérée. Des modèles de Volterra à complexité réduite inspirés de cette technique sont proposés. En considérant le noyau quadratique de Volterra comme une matrice et les autres noyaux comme des tenseurs d'ordres supérieurs à deux, nous utilisons une décomposition à l'aide des valeurs singulières (SVD) pour le noyau quadratique et la décomposition PARAFAC pour les noyaux d'ordres supérieurs à deux afin de construire le modèle réduit de Volterra appelé SVD-PARAFAC-Volterra. Un nouvel algorithme appelé ARLS (Alternating Recursive Least Squares) est présenté. Cet algorithme essentiellement basé sur la technique RLS appliquée d'une manière alternée estime les paramètres de tels modèles de Volterra. Enfin, de nouvelles méthodes d'identification robuste dites à erreur bornée sont présentées. Elles sont utilisées pour l'identification de modèles linéaires issus des BOG, travail qui vise à étendre au cas des systèmes non linéaires incertains des résultats obtenus récemment pour des systèmes linéaires incertains. Parmi les techniques d'identification à erreur bornée présentées, l'approche polytopique est plus particulièrement considérée. Cette approche nous permet d'estimer les intervalles d'incertitude des coefficients de Fourier du développement sur les différentes bases orthogonales étudiées. Ces mêmes méthodes d'identification sont utilisées aussi afin d'identifier les intervalles d'incertitude des paramètres du modèle SVD-PARAFAC-Volterra. Les méthodes proposées permettent de réaliser une importante réduction de complexité numérique et un gain en temps de calcul considérables.

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Informations

  • Détails : 197 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 191-197. Résumés en français et en anglais

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 05NICE4002
  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 05NICE4002bis
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