Etude des énumérateurs des poids des codes linéaires utilisant des formes décomposées des matrices génératrices

par Carmen-Simona Nedeloaia

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Pascale Charpin.

Soutenue en 2005

à Limoges , en partenariat avec Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques (autre partenaire) .


  • Résumé

    Cette thèse est dédiée à l'étude des codes linéaires binaires cycliques ou auto-duaux, en utilisant la décomposition de leurs matrices génératrices. Cela nous amène à l'obtention des mots de petit poids voire au calcul exact des polynômes énumérateurs. Afin de simplifer la matrice génératrice, nous passons de l'ordre cyclique à l'ordre standard des bits. Cela nous permet de mettre en forme carrée modifée récursive tous les codes affines-invariants et de donner de nouvelles bornes supérieures pour les distances duales des codes BCH binaires de longueur 512. Par la suite, nous montrons que tout code cyclique binaire à racines multiples est équivalent à une construction carrée. En particulier tous les codes cycliques auto-duaux (c. A. D. ) dont toutes les racines ont une multiplicité paire sont des sommes directes. Notre étude aboutit à l'énumération et au calcul des polynômes énumérateurs de tous les codes c. A. D. De longueur n ≤ 120. Enfin, nous étudions certains codes auto-duaux, dont les plus connus sont les codes résidus quadratiques. En utilisant un algorithme de calcul du nombre des mots de petit poids et la théorie des invariants, nous avons obtenu les énumérateurs des poids de tous les codes duadiques de longueur n ≤ 152 , à une exception près

  • Titre traduit

    Studying weight enumerators of linear codes by using the decomposition of their generator matrices


  • Résumé

    . This thesis is dedicated to the study of binary linear codes, cyclic or self-dual, by using the decomposition of their generator matrices. This enables us to obtain minimum-weight words and to calculate weight enumerators. In order to simplify the generator matrix, we pass from the cyclic order to the standard bit order. We deduce a recursive twisted squaring construction of all affine-invariant codes and we give new upper bounds on the dual distances of binary extended BCH codes of length 512. On the other hand, we prove that any binary repeated-root cyclic code is equivalent to a squaring construction. In particular, any cyclic self-dual code (c. A. D. ) with all roots evenrepeated is a direct sum. Our study succeeds by enumerating all c. A. D. Codes of length n ≤ 120 and by giving their weight enumerators. Finally, we study some classes of self-dual codes, the most famous being the quadratic-residue codes. By using an algorithm for finding the number of low-weight words and the invariant theory, we obtain the weight enumerators of all duadic codes of length n ≤ 152 , up to one code

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Informations

  • Détails : 1 vol. (127 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 121-126

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Limoges (Section Sciences et Techniques). Service Commun de la documentation.
  • Disponible pour le PEB
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