Résolution de problèmes non linéaires par les méthodes de points intérieurs : théorie et algorithmes

Resolution of nonlinear problems by interior-point method : theory and algorithms

• Auteur / Autrice : Mohammed Ouriemchi
• Direction : Adnan Yassine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Le Havre

Mots clés

Mots clés contrôlés

Gradient conjugué, Méthode du

Points intérieurs, Méthodes des

Programmation non linéaire

Programmation quadratique

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Région de confiance

Méthodes DC

Multiplicateurs de Lagrange

Effet Maratos

Sous-problèmes quadratiques

Résumé

Les méthodes barrières proposent de résoudre le problème non linéaire en résolvant une suite de problèmes pénalisés. Le lien entre la suite, dite externe, des solutions des fonctions pénalisées et la solution du problème initial a été établie dans les années soixante. Dans cette thèse, nous avons utilisé une fonction barrière logarithmique. A chaque itération externe, la technique SQP se charge de produire une série de sous-problèmes quadratiques dont les solutions forment une suite, dite interne, de directions de descente pour résoudre le problème non linéaire pénalisé. Nous avons introduit un changement de variable sur le pas de déplacement ce qui a permis d'obtenir des conditions d'optimalité plus stable numériquement. Nous avons réalisé des simulations numériques pour comparer les performances de la méthode des gradients conjugués à celle de la méthode D. C. , appliquées pour résoudre des problèmes quadratiques de région de confiance. Nous avons adapté la méthode D. C. Pour résoudre les sous-problèmes verticaux, ce qui nous a permis de ramener leurs dimensions de n+m à m+p (p<n). L'évolution de l'algorithme est contrôlée par la fonction de mérite. Des tests numériques permettent de comparer les avantages de différentes formes de la fonction de mérite. Nous avons introduit de nouvelles règles pour améliorer cette évolution. Les expériences numériques montrent un gain concernant le nombre de problèmes résolus. L'étude de la convergence de notre méthode SDC, clôt ce travail

The barrier methods solve the nonlinear problem by solving a sequence of penalized problems. The relation between the sequence, known as external, of the solutions of the penalized functions and the solution of the initial problem was established in the Sixties. In this thesis, we used a logarithmic barrier function. At each external iteration, SQP techniques produce a series of quadratic subproblems whose solutions form a sequence, known as internal, of descent directions, to solve the penalized nonlinear problem. We introduced a change of variable on the step what allow us to obtain optimality conditions more stable numerically. We gave simulations to compare the performances of the G. C. Method with that of D. C. Method, applied to solve trust-region quadratic problems. We adapted D. C. Method to solve the vertical subproblems, which allowed us to reduce their dimensions from n+m to m+p (p<n). The evolution of the algorithm is controlled by the merit function. Numerical tests make it possible to compare the advantages of various forms of the them. We introduced new rules to improve this evolution. The numerical experiments show a profit concerning the number of solved problems. The study of the convergence of our method SDC, closes this work