Etude d'une classe d'équations différentielles affines par morceaux modélisant des réseaux de régulation biologique

par Etienne Farcot

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean Della Dora.

Soutenue en 2005

à Grenoble INPG .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Cette thèse aborde une classe de modèles de la dynamique de réseaux d'interaction biologique, en particulier génétique, définis comme systèmes d'équations différentielles affines par morceaux. Les morceaux en question sont des pavés d'un espace euclidien, dont la dimension est le nombre d'éléments en interaction dans le réseau. Chaque coordonnée représente le niveau d'activité d'un des éléments. La thèse se décompose en trois parties. Premièrement, après une brève introduction biologique, les modèles mathématiques les plus connus sont présentés. Les modèles affines par morceaux sont décrits de manière détaillée, et certains liens avec des modèles purement discrets, ainsi qu'avec des modèles différentiables incluant des sigmoïdes, sont précisés. Un récapitulatif détaillé de la littérature sur le sujet est fourni. Dans une deuxième partie, des résultats théoriques sont présentés. L'analyse des orbites périodiques, développée dans la littérature pour des systèmes linéaires par morceaux, est étendue au cas affine par morceaux. Ensuite, un point de vue géométrique et combinatoire est porté sur la dynamique locale, au niveau des pavés décrits plus haut. Les conséquences globales de cette analyse locale sont décrites en termes de dynamique symbolique. Il est montré en particulier que l'entropie topologique des systèmes affines par morceaux est strictement inférieure à celle de modèles purement discrets, pour une large classe de systèmes. La troisième partie concerne l'analyse numérique des systèmes étudiés. Après une présentation des algorithmes implémentés, un jeu de données de simulations en dimension 4 est analysé, ainsi qu'un exemple plus spécifique en dimension 3.

  • Titre traduit

    Study of a class of piecewise affine differential equations arising as biological regulatory network models


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    This thesis deals with a class of biological networks' models, more specifically proposed for gene regulatory networks. These models are formulated as systems of piecewise affine differential equations. The phase space is euclidian, with the number of interacting biological elements as dimension. It is partitioned into rectangular pieces, in which the dynamics is affine. Each coordinate represents the activity level of an element in the net. The thesis is structured in three parts. First, a short biological introduction is proposed, followed by a presentation of the most widely used mathematical models. Piecewise affine models are defined in details, and compared with purely discrete models, and smooth models with sigmoids. A detailed state of the art is given. In a second part, theoretical results are presented. The analysis of periodic orbits, previously known for piecewise linear systems, is extended to the piecewise affine case. Then, a geometric and combinatorial approach is used to analyse the local dynamics, in boxes where the dynamics is affine. Global consequences of this local study are described in terms of symbolic dynamics. Especially, it is shown that the topological entropy of piecewise affine systems is strictly lower than that of purely discrete models, for a large class of systems. The third part deals with numerical analysis of the studied systems. The implemented algorithms are described, and some simulation data of systems in 4 dimensions are analysed. The dynamics of a specific system in 3 dimensions is also investigated.

Autre version

Cette thèse a donné lieu à une publication en 2005 par [CCSD] à Villeurbanne

Etude d'une classe d'équations différentielles affines par morceaux modélisant des réseaux de régulation biologique

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Informations

  • Détails : 1 vol. (169 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 163-169

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  • Bibliothèque : Université Grenoble Alpes (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque et Appui à la Science Ouverte. Bibliothèque universitaire Joseph-Fourier.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TS05/INPG/0056
  • Bibliothèque : Université Grenoble Alpes (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque et Appui à la Science Ouverte. Bibliothèque universitaire Joseph-Fourier.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS05/INPG/0056/D

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  • Cote : 2005INPG0056
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  • PEB soumis à condition
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