Algorithmique en analyse variationnelle et en optimisation semidéfinie

par Jérôme Malik

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Claude Lemaréchal.

Soutenue en 2005

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble) .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions des problèmes - pratiques ou théoriques - d'analyse variationnelle mettant en jeu les valeurs propres. La première partie est consacrée à la résolution pratique de problèmes d'optimisation numérique dans l'espace des matrices symétriques où des contraintes sont imposées sur les valeurs propres, nous introduisons des méthodes duales pour calculer la projection d'une matrice sur l'intersection du cône des matrices semidéfinies positives avec un espace affine. Nous étudions aussi plusieurs applications de ces méthodes en optimisation combinatoire (calcul de majorants pour les grands problèmes quadratiques booléens), en optimisation semidéfinie (algorithme proximal pour les problèmes sdp linéaires) et en finance (résolution robuste de problèmes de sélection de portfeuilles). Dans une seconde partie, plus théorique, nous étudions les fonctions non-différentiables qui ont une structure similaire à celle de la fonction plus grande valeur propre d'une matrice symétrique. Pour ces fonctions, nous établissons en particulier des liens entre les méthodes de newton de l'analyse convexe moderne, les méthodes de newton géométriques et les méthodes de newton de l'optimisation avec contraintes.


  • Pas de résumé disponible.

  • Titre traduit

    Algorithm studies in variational analysis and semidefinite optimization


  • Résumé

    This thesis consists in studies of variational analysis problems around a common theme : eigenvalues. The first part is devoted to numerical optimization problems in matrix spaces where contraints on eigenvalues are involved. We introduce dual numerical methods to compute the projection of a matrix onto the intersection of the cone of semidefinite positive matrices with an affine subspace. We present also several applications : in combinatorial optimization (bounding large quadratic boolean problems), in semidefinite programming (proximal algorithm to solve linear sdp problems) and in finance (robust portfolio selection problem). In the second part, more theoretical, we study nonsmooth functions that have a structure similar to the one of the largest eigenv alue function. For these functions, we establish connexions between newton methods of the modern convex analysis, the riemannian newton methods and the newton methods of constrained optimization.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (150 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 143-150

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  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TS05/GRE1/0202
  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS05/GRE1/0202/D
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