Exemples de schémas de Hilbert invariants et de schémas Quot invariants

Examples of invariant Hilbert shemes and of invariant Quot shemes

• Auteur / Autrice : Sébastien Jansou
• Direction : Michel Brion
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Grenoble 1

Résumé

Dans une première partie, on se donne un groupe réductif connexe complexe G, et on classifie les modules simples dont le cône des vecteurs primitifs admet une déformation G-invariante non triviale. On relie cette classification à celle des algèbres de Jordan simples, et aussi à celle (due à Akhiezer) des variétés projectives lisses dont les orbites sous l'action d'un groupe algébrique affine connexe sont un diviseur et son complémentaire. Notre principal outil est le schéma de Hilbert invariant d'Alexeev et Brion; on en détermine les premiers exemples. On détermine aussi les déformations infinitésimales (non nécessairement G-invariantes) des cônes des vecteurs primitifs; elles sont triviales pour presque tous les modules simples. Dans une seconde partie, on construit le ``schéma Quot invariant'' et on en détermine une classe d'exemples dans le cas où l'espace ambiant est un cône des vecteurs primitifs.

In a first part, we consider a complex connected reductive group G, and we classify the simple modules whose cone of primitive vectors admits a nontrivial G-invariant deformation. We relate this classification to that of simple Jordan algebras, and to that (due to Akhiezer) of smooth projective varieties whose orbits under the action of a connected affine algebraic group are a divisor and its complementary. Our main tool is the invariant Hilbert scheme of Alexeev-Brion; we determine the first examples of it. We also determine the infinitesimal deformations (non necessarily G-invariant) of the cones of primitive vectors; they turn out to be trivial for most simple modules. In a second part, we build the ``invariant Quot scheme'', and we determine a class of examples of it in the case where the ambient space is a cone of primitive vectors.