Espaces de longueur d'entropie majorée : rigidité topologique, adhérence des variétés, noyau de la châleur

par Guillemette Reviron

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bruno Colbois et de Sylvestre Gallot.

Soutenue en 2005

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble) .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Les théorèmes de (pré)compacité ou de bomitude s'établissent généralement sur l'ensemble des variétés de dimension, diamètre et courbure bomés, qui n'est pas complet (il n'existe donc pas de preuve unifiée de la bornitude des invariants par compacité/continuité). A la différence de la courbure, l'entropie est peu sensible aux variations locales de la métrique ou de la topologie, c'est pourquoi nous nous plaçons sur une famille M(o,H,D) beaucoup plus vaste: celle des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur qui admettent un revêtement universel, dont le diamètre et l'entropie sont bornés par D et H, qui vérifient une condition 1-homotopique dite de o-non-abélianité. Nous prouvons que M(o,H,D) est complet pour la distance de Gromov-Hausdorff, que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. Le premier nombte de Betti et le groupe fondamental) y sont des fonctions lipschitziennes (resp. Localement constantes), qu'on peut y comparer les volumes et les bornes inférieures de courbure de deux variétés e-proches et que le sous-ensemble M(o,H,D,V) (des variétés de courbure négative et de volume majoré par V) y est d'adhérence compacte. Des majorations uniformes du noyau de la chaleur assurent la précompacité de M(o,H,D,V) pour la distance spectrale et une description des propriétés des espaces-limites. La méthode s'appuie sur une estimation de type Bishop (sans hypothèse de courbure) du volume des boules et sur le calcul d'un e :=e (o,H,D) uniforme tel que toute e-approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces X et Y de M(o,H,D) induise un isomorphisme p entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une e-presque-isométrie péquivariante entre ces revêtements.


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  • Titre traduit

    Length spaces whose volume entropy is uniformly bounded : topological rigidity, closure of manifolds, heat kemel


  • Résumé

    Ln order to obtain some precompactness and boundedness results, one generally consider the set of compact manifolds whose dimension, diameter and curvature are bounded. Since this set is not complete, there exists no general praof by compactnessl continuity. Of the boundedness of invariants. As the entropy is almost unsensible to local variations of the metric or of the topology, we chose to consider the mu ch larger family M(o,H,D) of length spaces which admit a universal cover, whose diameter and (volume) entropy are bounded by H and D and which satisfy some 1-homotopic condition (called o-non-abelianess). We show that M(o,H,D) is complete w. R. T. The Gromov-Hausdorff distance; that the entropy and the marked length spectrum (resp. The first Betti number and the fondamental group) are lipschitz (resp. Locally constant) functions; that the volume and the infimum of the curvature of two e-close manifolds may be compared. Moreover, the closure of the subset M(o,H,D,V) (of negatively curved manifolds whose volume is bounded by V) is compact in M(o,H,D) and some uniform upper bounds on the heat kernel imply the precompactness of M(o,H,D,V) w. R. T. The spectral distance (which allows in particular a good description of the limit-spaces). The method is based on estimations of the volume of balls (without any assumptions on the curvature) and on the computation of a uniform e:= e(o,H,D) such that every Hausdorff e-approximation between two spaces X and Y (which belong to M(o,H,D)) induces an isomorphism p between the groups of automorphisms of their universal covers, and lifts to a p-equivariant e-almost-isometry between these covers.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (223 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 221-223

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  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TS05/GRE1/0052
  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS05/GRE1/0052/D
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