Contributions à l'étude des files d'attente avec clients impatients

par Pascal Moyal

Thèse de doctorat en Informatique et Réseaux. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Huu Quynh Nguyen.

Soutenue en 2005

à Paris, ENST .

mots clés

• Files d'attentes
• Clients impatients
• Limites fluides
• Discipline EDF
• Processus mesures
• Théorie ergodique
• Temps réel

Résumé

Pour décrire le trafic dans un réseau sous contrainte temps-réel, on enrichit le modèle de la file d'attente d'un nouveau paramètre : le délai d'exécution des tâches. On parlera donc de file d'attente avec clients impatients : ils entrent dans le magasin avec une patience limitée et le quittent si leur délai expire avant d'avoir atteint un serveur. Nous étudions des cas où la discipline de service dépend du délai des clients ( EDF : on sert le plus pressé, LDF : le moins pressé,. . . ). Ceux-ci présentent une dynamique instable, ce qui en complique notoirement la description markovienne. Pour un système général sous toute discipline de service, un schéma de récurrence arrière sous Palm nous permet de prouver l'Existence/Unicité du régime stationnaire, et de donner la condition de récurrence. Nous prouvons dans le même cadre par des techniques de couplage qu'EDF est la discipline optimale et qu'LDF est la pire pour la probabilité de perte à l'équilibre P et donnons une borne du gain d'EDF en terme de P. Nous proposons en outre des encadrements de P sous EDF. Nous décrivons ensuite le système par le processus à valeur mesures ponctuelles représentant les délais résiduels des clients en attente, et déjà perdus. Nous donnons la limite fluide et le théorème central limite fonctionnel correspondant, pour une suite de renormalisations de ce processus en espace, temps et amplitude. Cette limite continue et déterministe s'écrit comme l'unique solution d'une équation intégrale dans l'espace des processus à valeurs distributions tempérées. Nous appliquons ces résultats à l'estimation asymptotique des processus de congestion et de perte sous EDF et FIFO, et au système délai pur

Titre traduit

Contributions to the study of queues with impatient customers

Résumé

The modelization of Real-time networking requires an enrichment of the classical queueing theory with a new parameter: the deadline of the tasks. By queue with impatient customers, we therefore mean a queue where the customers are eliminated when meeting their deadline before reaching the service booth. We here focus on cases, where the service discipline depends on the deadlines of the customers (Earliest Deadline First (EDF), Latest Deadline First (LDF),. . . ). Those have an unstable dynamics, rendering the associated markovian description rather complex. For a general system under any service discipline, we prove under the Palm settings the Existence/Uniqueness of a stationary regime and provide a condition for the recurrence of the system using a backward recurrence scheme. On the same framework, coupling techniques allows us to show that EDF is the optimal discipline and that LDF is the worst for the stationary loss probability P, and to give an upper bound of the gain of EDF in terms of P. We then describe the system by way of the point measure-valued process putting a unit of mass at each residual time to extinction of the waiting customers and the already lost customers. We show the convergence in distribution of a sequence of normalizations of this process in time, space and weight towards a fluid limit, and provide the corresponding functional central limit theorem. This deterministic, continuous process is the unique solution of an integral equation in the space of tempered distributions-valued processes. We apply these results to the asymptotical estimation of the congestion and loss processes under EDF and FIFO, and to the pure delay system