Sur la partie principale des déformations de champs de vecteurs hamiltoniens

par Marco Uribe Santibañez

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pavao Mardešić et de Michèle Pelletier.

Soutenue en 2005

à Dijon .


  • Résumé

    Le sujet de cette thèse est l'étude de la fonction principale de Poincaré-Pontriaguine associée aux petites déformations polynomiales de champs de vecteurs hamiltoniens. On prouve d'abord que dans le cas du triangle hamiltonien, génériquement, la fonction principale de Poincaré-Pontriaguine d'ordre deux n'est pas une intégrale abélienne et que la fonction principale d'ordre k appartient au {C}[t,1/t]-module engendré par les intégrales I0(t), I2(t) et I*(t). On étend ce résultat à un hamiltonien formé par un produit de d+1 fonctions linéaires réelles en x,y telles que les droites associées aux fonctions line��aires sont dans {R}2 en position générale, elles sont différentes, non parallèles et trois de ces droites ne concourent pas. On prouve que la fonction principale de Poincaré-Pontriaguine Mk(t) d'ordre k appartient au {C}[t,1/t] - module engendré par des intégrales abéliennes et par des intégrales non abéliennes du type I*{i,j} (t) avec 1≤i≤j≤d. De plus, ce sont des intégrales itérées de longueur deux, quel que soit k.

  • Titre traduit

    The principal part associated to polynomial perturbations of hamiltonian vector field


  • Résumé

    The subject of this thesis is the study of the principal Poincaré-Pontriaguine function associated to small polynomial perturbations of Hamiltonian vector fields. Firstly we prove that in the Hamiltonian triangle case generically the principal Poincaré-Pontriaguine function of order two is not an Abelian integral and that the principal Poincaré-Pontriaguine function of order k belongs to the {C}[t,1/t]-module generated by the integrals I0(t), I2(t) and I*(t). We extend this result to a hamiltonian formed by a product of (d+1) real linear functions in two variables such that the lines are in a general position in {R}2, that is, the lines are distinct, non parallel, no three of them have a common point. We prove in this case that the principal Poincaré-Pontriaguine function Mk(t) of order k belongs to the {C}[t,1/t]- module generated by Abelian integrals and not Abelian integrals of type I*{i,j} (t) with 1≤i≤j≤d. Moreover those integrals are iterated integrals of length two.

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Informations

  • Détails : 1 vol.(xii-113-IV p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. I-IV, [56] réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Bourgogne. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TDDIJON/2005/34
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