Autour d'une conjecture de B. Gross relative à l'existence de corps de nombres de groupe de Galois non résoluble et ramifiés en un unique premier p petit

Around a confecture by B. Gross on the existence of several nonsolvable number fields ramified at exactly one prime p less than eleven

• Auteur / Autrice : Sylla Lesseni
• Direction : Michel Olivier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique. Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Galois, Théorie de

Résumé

La présente étude vise à vérifier la conjecture faite par B. Gross relative à l'existence de corps de nombres de groupe de Galois non résoluble et ramifiés en un unique premier p < 11. À travers ce travail, nous nous intéressons au cas des corps de nombres de degré n ≤ 9. Après quelques rappels généraux sur les outils utilisés, on présente les méthodes pratiques permettant de vérifier cette conjecture. Les travaux de J. Jones ont montré que les corps de nombres de degré 5 et 6 vérifiant ces types de ramification ont tous un groupe de Galois résoluble. Dans le cas du degré 7, S. Brueggeman a abouti au même résultat que le travail sus cité. Nos travaux dans le cas des degrés 8 et 9 montrent que sous GRH ou de façon inconditionnelle, la ramification en 5 n'est pas possible. À l'issue des recherches numériques, les seules tables obtenues sont celles de la ramification en p = 2 en degré 8 et celles de la ramification en p = 3 en degré 9. Les corps obtenus ont tous un groupe de Galois résoluble, montrant ainsi que cette conjecture de B. Gross n'est pas vérifiée pour les corps de nombres de degré n ≤ 9.