Sur quelques problèmes de lubrification par des fluides newtoniens non isothermes et incompressibles avec des conditions aux bords non linéaires : Etude mathématique et numérique

par Fouad Saidi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et applications des mathématiques

Sous la direction de Mahdi Boukrouche.

Soutenue en 2004

à Saint-Etienne .


  • Résumé

    On rappelle les principes de base de la mécanique des milieux continus à partir desquels on déduit les équations modélisant l'écoulement non isotherme d'un fluide newtonien incompressible. On considère le cas stationnaire dans un domaine mince ?e avec des conditions aux limites non linéaires. On déduit le problème variationnel correspondant qui est fortement couplé, composé d'une inéquation et une équation variationnelles, dont les inconnues sont le champ de vitesse du fluide, sa pression et sa température. La difficulté principale est la présence dans l'équation variationnelle du carré du tenseur des taux de déformation, qui ne permet pas de donner un sens au problème variationnel, si on cherche la vitesse dans un convexe de h1. Pour lever cette difficulté, on cherche la régularité h2 de la vitesse, qui nécessite la régularité c0 ,1 de la température, qui est dans les coefficients de l'inéquation variationnelle. En utilisant le théorème du point fixe de Banach, on montre l'existence, l'unicité et la régularité de la solution faible. Puis, on établit des estimations indépendantes de e en norme h2 pour la vitesse et de la température, et en norme h1 pour la pression. Ce qui nous permet d'obtenir des limites fortes. On obtient alors le problème limite, l'équation de Reynolds généralisée et on montre l'unicité des solutions de ce problème limite. On présente aussi une approximation du problème limite par une méthode d'éléments finis, on étudie la convergence des solutions approchées et on donne les estimations d'erreur d'approximation. Enfin, on remplace la condition aux limites de Tresca par celle de Coulomb dans l'étude précédente et on obtient des résultats similaires.


  • Résumé

    We recall the basic principles of the continuous media its mechanics from which we deduce the equations modelling the nonisothermal flow of an incompressible newtonian fluid. We consider the stationary case in a thin domain ?e with nonlinear boundary conditions. We deduce the corresponding variational problem which is strongly coupled, composed by a variational inequality and an equality, whose unknowns are the velocity field of the fluid, its pressure and its temperature. The principal difficulty is the presence in the variational equality of the square of the deformation rate tensor, which does not make possible to give sense to the variational problem, if we search the velocity in h1 -convex. To overcome this difficulty, we search the h2 -regularity of the velocity, which requires the c0 ,1-regularity of the temperature, which is in the coefficients of the variational inequality. By using the Banach fixed point theorem, we show the existence, uniqueness and regularity of weak solution. So, we established the e-estimates of the h2 -norm for the velocity and temperature, and of the h1 -norm for the pressure. This enables us to obtain the strong limits. We then obtain the limit problem, the generalized Reynolds equation and we prove the uniqueness of solutions to this limit problem. We present also an approximation of the limit problem by the finite elements methods, we study the convergence of the approximate solutions and we give the error estimates of the approximation. Finally, we replace in preceding study the Tresca's boundary condition by Coulomb's and we obtain the similar results.

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Informations

  • Détails : 162 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres.

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