Contribution à l'étude des attracteurs des systèmes dynamiques en dimension finie

par Sara Derivière

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Marie Strelcyn et de Moulay-Ahmed Aziz-Alaoui.

Soutenue en 2004

à Rouen .


  • Résumé

    Les attracteurs chaotiques des systèmes dynamiques sout presque toujours identifiés grâce à des méthodes numériques. Le but de cette thèse consiste donc à isoler ces objets mathématiques, à localiser analytiquement leur domaine d'existence. Pour cela, nous définissons des régions bornées de l'espace des phases contenant les attracteurs grâce à une extension du principe d'invariance de LaSalle. Ensuite, lorsque cela est possible, nous mettons en évidence des trous au sein des attracteurs. De plus, nous montrons comment les résultats obtenus par ces localisations permettent d'obtenir des résultats sur la synchronisation identique de deux sous-systèmes couplés de façon bidirectionnelle. Plus précisement, on détermine une valeur minimale analytique au paramètre de couplage garantissant la synchronisation des systèmes. Ce travail est effectué dans le cadre des systèmes dynamiques continus (première partie), puis pour une classe de systèmes à second membre discontinu appelés systèmes de Filippov (deuxième partie). Nous appliquons nos résultats sur des exemples concrets, accompagnés par des évidences numériques du caractère chaotique des systèmes. Tous les résultats obtenus sont illustrés numériquement. Enfin, les techniques issues de la théorie de l'indice de Conley et permettant de démontrer rigoureusement (par une preuve assistée par l'ordinateur) le caractère chaotique des systèmes dynamiques sont présentées dans la troisième partie.


  • Résumé

    Chaotic attractors of dynamical systems are almost always identified using numerical methods. The aim of this thesis is to obtain analytical information on these objects. So, attractors of studied systems are analytically localized by defining bounded regions in the phase space. To do this, we use an extension of the usual LaSalle invariance principle. And when it is possible, holes inside these regions are involved to restrict the domains. Moreover, a study of the synchronisation of two coupled systems is done to show another application of the results obtain with the localisation. This work has been done for continuous systems (first part), and for a class of discontinuous systems called Filippov systems (second part). We have applied our results on practical examples, for which we have too given numerical illustrations of the chaotic behavior and of the localisation of attractors. Finally, techniques stemming from the theory of the Conley index and allowing to demonstrate rigorously (by a computer assisted proof) the chaotic character of dynamical systems are presented

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Informations

  • Détails : XVII-144 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. 31 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rouen. Service commun de la documentation. Section sciences site Madrillet.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 04/ROUE/S039
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