On conformal field theory and SLE processes
Auteur / Autrice : | Roland Friedrich |
Direction : | Wendelin Werner |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance en 2004 |
Etablissement(s) : | Paris 11 |
Partenaire(s) de recherche : | Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) |
Résumé
Dans cette thèse nous explorons les liens entre une classe de processus stochastique appelés 'Evolutions Stochastiques de Lœwner' (abrégés SLE) et la théorie conforme des champs. On rappelle d'abord les résultats important que nous utiliserons par la suite, en particulier les notions de restriction conforme et de martingales de restriction introduites par Lawler, Schramm et Werner. On donne également une dérivation de l'équation de Lœwner basée sur le principe variationnel d'Hadamard. Celle-ci s'avérera utile pour définir des généralisations des processus SLE sur des surface de Riemann. Puis on construit explicitement un lien entre les processus SLE et la théorie des représentation de l'Algèbre de Virasoro. En particulier, on interprète les identités de Ward en termes de propriété de restriction et la charge centrale en termes de densité de boucles de lacets browniens. Ensuite on montre que cette interprétation permet d'expliquer les relations entre le [kappa] du processus et la charge centrai [c] de la théorie conforme des champs par une représentation dégénérée de plus haut poids de l'algèbre de Virasoro. Ensuite on donne une dérivation de ces mêmes relations avec une approche plus proche de la physique théorique. En particulier, on explore la relation entre SLE et la géométrie des espaces de modules sous-jacents. Dans la partie finale on y ébauche à une construction générale. On y considère en particulier l'opérateur rac{\kappa}{2}L^2_{-1} -2L_{-2} comme le générateur d'une diffusion sur un certain espace de modules. Cette diffusion doit permettre de construire des courbes aléatoires sur des surfaces de Riemann arbitraires.