Sur quelques équations aux dérivées partielles et leur analyse numérique

On a few partial differential equations and their numerical analysis

• Auteur / Autrice : Benoît Merlet
• Direction : François Alouges
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Complément singulier

Systèmes hyperboliques

Courbes de choc

Eléments finis mobiles

Equation de Kadomtsev Petviashvili

Fonctionnelle de Mumford-Shah

Résumé

Les travaux présentés dans cette thèse concernent l'étude théorique ou/et numérique de quatre Equation aux Dérivées Partielles de nature différente. Le premier chapitre traite de systèmes hyperboliques non conservatifs en dimension un d'espace. Contrairement au cas conservatif, la théorie des distributions ne donne pas de sens naturel à la notion de choc pour ces systèmes. Nous proposons et étudions ici une définition pour les courbes de chocs associées à de tels systèmes. Cette définition est très simple et implantable dans un solveur de Riemann. Le second chapitre concerne la simulation numérique du flot des applications harmoniques axisymétriques de D^2 à valeur dans S^2. Nous utilisons la notion d'énergie relaxée pour construire des solutions non standard de ce flot qui tiennent compte de l'énergie perdue par concentration. Pour simuler ces solutions, nous utilisons une méthode d'Eléments Finis Mobiles qui permet de capter efficacement les singularités. Au troisième chapitre, nous abordons le problème de Cauchy avec condition initiale et donnée au bord pour l'équation de Kadomtsev-Petviashvili II posée sur une bande. De plus nous traitons le cas du demi-plan et nous montrons un résultat de convergence. Le dernier chapitre concerne la vérification numérique d'une conjecture de Guy David liée à la fonctionnelle de Mumford-Shah. Nous ramenons l'étude à un problème spectral pour l'opérateur Laplacien avec conditions de Neumann sur un sous-domaine de S^2 possédant des angles rentrants. Nous utilisons la méthode du complément singulier pour calculer des approximations précises des coefficients singuliers du premier vecteur propre de l'opérateur.

In this thesis, four Partial Differential Equations of different nature are studied, numerically or/and theoretically. The first part deals with non-conservative hyperbolic systems in one space dimension. In the case of non-conservative hyperbolic systems, several definitions of shock waves exist in the literature, in this paper, we propose and study a new, very simple one in the case of genuinely non-linear fields. The second part is concerned with the Harmonic Map flow. We build solutions to the harmonic map flow from the unit disk into the unit sphere which have constant degree, in a co-rotational symmetric frame. First we prove the existence of such solutions, using a time semi-discrete scheme then we compute numerically these solutions by a moving-mesh method which allows us to deal with the singularities. The third part deals with the initial-and-boundary value problem for the Kadomtse-Petviashvili II equation posed on a strip with a Dirichlet left boundary condition and two kinds of conditions on the right boundary. Moreover we treat the case of the half plane and we show a result of convergence. In the last part, we investigate by numerical means a conjecture proposed by Guy David about the existence of a new Global Minimizer for the Mumford-Shah Functional in R^3. We are led to study a spectral problem for the Laplace operator with Neumann boundary conditions on a two dimensional subdomain of the sphere S^2 with reentrant corners. In particular, we have to compute the first eigenvector of this operator and accurate approximations of the singular coefficients of this eigenvector at each corner. For that we use the Singular Complement Method.