# Problèmes mathématiques liés à l'asymptotique des petits nombres de Rossby

## par Djoko Wirosoetisno

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Roger Temam.

Soutenue en 2004

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

• ## Résumé

This thesis is centred on singular and regular perturbations of fluid systems having a small parameter, with applications to geophysical fluid flows. In the first chapter, we consider a regular perturbation approximation of a system whose solutions contain rapid oscillations arising from the small parameter. We showed here that one can construct an approximate system which is free of oscillations and which allows one to recover the original solution up to an arbitrary order of accuracy. This result is then applied to a linear optimal control problem with quadratic cost function. In the next chapter, we prove some regularity properties of the approximate systems: for sufficiently small values of the parameter, the approximate systems are as regular as the original one. This is done using a direct algebraic method on the leading-order approximation, and using a shadowing argument. When the problem has slow as well as fast motions, a singular perturbation method can be used to obtain approximate slow solutions. We showed that it is possible in some cases to obtain approximations which are exponentially accurate in the small parameter. A partial generalisation to a rotating fluid flow is given. The last chapter of the thesis is a study of steady solutions of two-dimensional perfect fluid flows as its boundary is kinematically deformed. One may regard this as the leading-order solution of the Euler equation with a slowly deforming boundary. We give sufficient conditions for the persistence and stability of such steady flows.

Mathematical problems in small Rossby asymptotics

• ## Résumé

Cette thèse porte sur des perturbations régulières et singulières des équations de fluides ayant un petit paramètre, avec des applications aux écoulements de fluides géophysiques. Dans le premier chapitre, on considère un système différentiel, dont la solution présente des oscillations rapides provenant du petit paramètre, et son approximation par une méthode de perturbation adaptée. On obtient le système approché qui ne contient pas d'oscillations et qui nous permet de récupérer la solution exacte jusqu'à un ordre d'approximation arbitraire. Ce résultat est aussi appliqué à un problème linéaire de contrôle optimal avec une fonction côut quadratique. On démontre alors quelques propriétés de régularité du système approché: en particulier, quand le paramètre est suffisament petit, les systèmes approchés sont aussi régulier que le système original. On arrive à ce résultat par une méthode algébrique directe, et également par une méthode de "shadowing". Si la solution subit à la fois des variations lentes et rapides, une méthode de perturbation singulière peut être utilisée pour obtenir des solutions approchées lentes, dont l'erreur d'approximation est exponentiellement petit par rapport au petit paramètre. Une application est donnée pour un système de fluide en rotation. Le dernier chapitre est consacré à l'étude de solutions stationnâmes d'un fluide parfait bidimensionel dont la frontière est perturbée. On peut regarder ce problème comme la solution au premier ordre de l'équation d'Euler dans une domaine dont la frontière subit une lente déformation. On présente des conditions suffisantes pour la persistence et la stabilité de tes écoulements stationnaires.

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## La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

• Détails : 105 p.
• Notes : Publication autorisée par le jury
• Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres

Où se trouve cette thèse ?

• Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
• Disponible pour le PEB
• Cote : 0g ORSAY(2004)99
• Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
• Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
• Cote : WIRO
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