Développement et analyse d'une méthode sans maillage pour les systèmes hyperboliques du premier ordre

par Guillaume Pierrot

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Christian Saguez.


  • Résumé

    Les systèmes hyperboliques interviennent dans de nombreux problèmes physiques tels que la dynamique des gaz et des matériaux super-élastiques, ou bien encore la magnéto-hydrodynamiqueLorsque le domaine d'étude est invariant, les outils numériques traditionnels utilisés pour la simulation de tels systèmes (Différences Finies, Volumes Finis, Eléments Finis) ont prouvé leur efficacité. En revanche lorsqu'il se déforme au cours du temps, elles pâtissent d'un surcoût important dû à nécessité d'adapter la grille au domaine d'étude à chaque instant. Qui plus est, dans le cas de problèmes à très grandes déformations, tels que le déploiement d'un airbag, le remaillage en lui-même pose des problèmes de construction. La méthode sans maillage SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), introduite par Lucy dans les années 70 pour simuler des phénomènes d'astrophysique, vise à palier cet inconvénient en s'affranchissant (dans une certaine mesure) des problèmes liés à la déformation du domaine d'étude. Son analyse mathématique, due à Raviart et Mas-Gallic dans le cadre linéaire et à Vila dans le cadre non-linéaire, a toutefois mis en évidence des conditions de convergence restrictives. L'objet de ce travail est de proposer une nouvelle classe de schémas sans maillage ne souffrant pas des mêmes restrictions. L'optique retenue est de généraliser la méthode des Différences Finies à des nuages de points non structurés et déformables, en adaptant notamment les notions de formule aux différences et de décentrementLa convergence est démontrée dans le cadre linéaire. Enfin, des exemples d'application numérique sont donnés pour le système de la dynamique des gaz.

  • Titre traduit

    Development and analysis of a meshless method for first order hyperbolic systems


  • Résumé

    Hyperbolic systems appear in many physical problems such as gas dynamics, hyper-elastic materials, or magneto-hydrodynamics. When the domain of interest doesn't change in time, the well-known numerical methods (Finite Differences, Finite Volumes, Finite Elements) have proven to be well suited and efficient. On the contrary when the domains changes in time, there is an over-cost due to the necessity of adapting the mesh at each time step. Moreover when the geometry is complex and/or the deformations are very large, 3D meshing and re-meshing is still a difficult task. As a consequence the interest of the scientific community for meshless methods has been growing over the last decade. The Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method introduced by J. Monaghan in the early eighties for the simulation of astrophysical phenomenon has been the first purely lagrangian meshless scheme to be proposed. Unfortunately its mathematical analysis due to P-A. Raviart, S. Mas-Gallic, B. Ben-Moussa, and J-P. Vila has shown up some restrictive convergence conditions. In this work we propose a new meshless method that doesn't suffer for such restrictions. The scheme is roughly a generalisation of the Finite Difference Method in the ALE context. Special care has been taken to upwinding techniques for stability purpose and a general method for the enforcement of boundary conditions has also been developed. The scheme is consistent and stable and its convergence has been proven in the linear case (Friedrichs Systems). Special care has then been taken to its application to gas dynamics in lagrangian variables. 1D simulation have shown better accuracy than first order FVM (Roe scheme).

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Informations

  • Détails : 1 vol. (VII-311 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. 34 références

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  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TH 62831
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