Théorie spectrale des opérateurs multivoques et applications aux systèmes dynamiques : caractérisation de certaines propriétés des fonctions non-lisses

par Pedro Gajardo

Thèse de doctorat en Sciences et agronomie. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Alberto Seeger.

Soutenue en 2004

à Avignon .


  • Résumé

    Le propos de cette thèse est de développer diverses branches de l'analyse multivoque, d'un point de vue théorique, et d'en appliquer les résultats obtenus. Sachant que les concepts de valeur et de vecteur propre d'un opérateur multivoque dans un espace de Hilbert sont présents dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées, on commence ce travail en étendant ces concepts aux opérateurs définis sur un espace de Banach et on examine la stabilité des ensembles des valeurs et vecteurs propres. On définit ensuite les valeurs propres à epsilon-près et les valeurs propres approchées d'un opérateur multivoque, concepts qui ont été étudiés dans le cas des opérateurs linéaires et qui donnent une information supplémentaire à celle des valeurs propres usuelles. On utilise aussi les notions de valeurs et vecteurs propres dans l'étude asymptotique d'un système dynamique discret gouverné par un processus convexe. Ensuite on propose une méthode pour construire des solutions régulières pour une inclusion différentielle de premier ordre définie par un processus convexe et on présente quelques résultats de stabilité par rapport aux conditions initiales. Finalement, on énonce plusieurs résultats caractérisant les fonctions non-lisses à l'aide de diverses notions de sous-différentiels ou, plus généralement, d'opérateurs multivoques satisfaisant la formule de représentation sous-dfférentielle de Clarke


  • Résumé

    This thesis falls within the general context of the theory of set-valued systems. The first part of the thesis is devoted to the spectral theory of set-valued operators and its applications to the analysis of discrete and continuous differential inclusions. We study the concepts of eigenvalue and eigenvector for set-valued operators defined on a Banach space. In particular, we discuss some continuity results for these concepts. Next we extend Landau's concept of epsilon-eigenvalue for linear operators to the general context of positively homogeneous set-valued mappings defined on Hilbert spaces. We explore in detail; this new concept and, as way of application, we discuss the resonance phenomenon of a firstorder differential inclusion. Another area of application of the spectral theory of set-valued operators is the asymptotic stability analysis of a discrete dynamical system described by a convex process. We study the asymptotic behavior of such systems by using first- and higher-order spectral information. In the context of a first-order differential inclusion given by a convex process, we propose a new method for constructing smooth solutions and we study the dependence with respect to initial data. The last part of this thesis is devoted to the subdifferential calculus. As it is well known, several properties of extended-real-valued lower semicontinuous functions are equivalent to suitable conditions of the corresponding Clarke subdifferential. In this thesis we show that any such condition on the Clarke subdifferential still holds with any set-valued operator admitting the Clarke subdifferential representation formula

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  • Détails : 1 vol. (IV-158 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 155-158

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  • Cote : T 17.04.211

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