Méthodes de variétés invariantes pour les équations de Saint Venant et les systèmes hamiltoniens discrets

Invariant manifold methods for Saint Venant equations and discrete hamiltonian systems

• Auteur / Autrice : Pascal Noble
• Direction : Jean-Michel Roquejoffre, Jean-Paul Vila
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariants

Systèmes hamiltoniens

Mots clés libres

Réduction à une variété centrale

Théorème de Fenichel

Equations de Saint Venant

Mapping

Breathers discrets

Résumé

Dans cette thèse, on analyse par des méthodes de variétés invariantes deux problèmes distincts: le phénomène des roll-waves en hydraulique et l'existence de breathers discrets dans des réseaux non linéaires discrets. Les roll-waves sont des ondes progressives périodiques et discontinues solutions entropiques des équations de Saint Venant. Grace aux théorèmes de Fenichel, on montre l'existence de roll-waves continues ''visqueuses'' proches des roll-waves discontinues lorsqu'on ajouté aux équations un petit terme de viscosité. On étudie ensuite la stabilité linéaire de ces roll-waves discontinues. Enfin, on montre l'existence de roll-waves de petite amplitude dans des canaux à fond périodiques. Les breathers discrets sont des oscillations périodiques, localisées en espace dans des réseaux non linéaires discrets. On analyse d'abord le modèle Fermi-Pasta-Ulam (FPU) diatomique. En formulant le problème sous la forme d'un mapping en dimension infinie, on montre, via une réduction à une variété centrale, l'existence de breathers discrets de petite amplitude pour des rapports de masses arbitraires. On utilise aussi cette approche pour montrer l'existence de breathers discrets dans des chaines de spins ferromagnétiques.

We analyze in this thesis two different problems with invariant manifold methods: the roll-waves phenomenon in hydraulic and the existence of discrete breathers in nonlinear discrete lattices. Roll-waves are periodic and discontinuous travelling waves, entropic solutions of the Saint Venant equations. With the help of Fenichel theorems, we prove the existence of continuous ''viscous'' roll-waves close to the discontinuous roll-waves when we add a small viscous term in the equations. Then, we study the linear stability of these discontinuous roll-waves. Finally, we prove the existence of small amplitude roll-waves in a channel with a periodic bottom. Discrete breathers are periodic and spatially localized excitations in nonlinear discrete lattices. We first analyze the diatomic Fermi-Pasta-Ulam (FPU) chain. The problem is formulated as a mapping in a loop space. Using a centre manifold reduction, we prove the existence of small amplitude breathers in a diatomic chain with an arbitrary mass ratio. We also use this technique to prove the existence of discrete breathers in ferromagnetic spin chains.