Les groupes relativement hyperboliques et leurs bords

par François Dahmani

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Thomas Delzant.

Soutenue en 2003

à Strasbourg 1 .


  • Résumé

    L'utilisation d'idées et de techniques de géométrie à courbure négatve dans l'étude de groupes de type fini s'est révélée être l'approche naturelle pour de nombreux problèmes. Les groupes hyperboliques de M. Gromov empruntent leurs propriétés aux groupes Kleiniens co-compacts. M. Gromov indique l'approche relative, développée par d'autres auteurs plus tard: l'action n'est plus co-compacte, mais géométriquement finie. Il s'agit des groupes relativement hyperboliques. Nous étudions dans cette thèse ces groupes et leurs bords. Le chapitre 1 est consacré à l'étude de bords topologiques: des Z-structures. Le resultat obtenu généralise celui de E. Rips, sur l'existence d'un classifiant fini, et celui de M. Bestvina et G. Mess sur l'existence d'une Z-structure pour des groupes hyperboliques. En second lieu, on porte l'étude sur le bord défini par B. Bowditch. Avec A. Yaman, nous décrivons un codage symbolique de ce bord, sous une condition intrinsèque sur sous-groupes paraboliques maximaux. Une étude de cette propriété permet de donner de nombreux exemples. Au chapitre 3, on utilise la méthode de construction de bord de la première partie pour démontrer un théorème de combinaison dans le cas relatif. On repond à une question de Z. Sela sur l'hyperbolicité relative des groupes limites. Le chapitre 4 présente une application des techniques développées, en une contruction de representants canoniques relatifs, et en un théorème de finitude du nombre d'images d'un groupe de présentation finie dans un groupe relativement hyperbolique. En annexe, on donne une preuve de l'equivalence de deux définitions des groupes relativement hyperboliques.

  • Titre traduit

    Relatively hyperbolic groups and their boundaries


  • Résumé

    The utilization of ideas and technics of geometry of negative curvature in the study of finitely generated groups has proven to be the natural approach for many problems. M. Gromov's hyperbolic groups borrow their properties from co-compact Kleinian groups. M. Gromov indicates the relative approach, which was developped by other authors later: the action is not co-compact but geometrically finite. This gives the class of relatively hyperbolic groups. In this thesis, we study these groups, and their boundaries. Chapter 1 deals with topological boundaries : Z-structures. The results obtained are generalisation of results of E. Rips on the existence of finite classifying space, and of M. Bestvina and G. Mess, on the existence of Z-structure for hyperbolic groups. Secondly, we focus on the boundary defined by B. Bowditch. With A. Zaman, we described a symbolic coding of this boundary under an intrinsic condition on maximal parabolic subgroups. A study of this property allows to give many examples. In chapter 3, one uses the construction of boundaries of the first chapter to prove a combination theorem in the relative case. One answers a question of Z. Sela on the relative hyperbolicity of limit groups. In chapter 4, we present an application of the technics developped above, as a construction of relative canonical representatives, and as a finiteness theorem on the images of a finitely presented group in a relatively hyperbolic group. In an appendix we give a proof of the equivalence of two definitions of relatively hyperbolic groups.

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Informations

  • Détails : 87 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 85-87

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Strasbourg. Service commun de la documentation. Bibliothèque Danièle Huet-Weiller.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : Th.Strbg.Sc.2003;4296
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • PEB soumis à condition
  • Cote : -/DAHM
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