Chains with complete connections and one-dimensional Gibbs measures

• Auteur / Autrice : Grégory Maillard
• Direction : Roberto Fernández
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Probabilités
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Rouen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique statistique

Processus de Markov

Corrélation (statistique)

Théorie ergodique

Mesures de Gibbs

Processus stochastiques

Résumé

On introduit un formalisme de mécanique statistique pour l'étude des processus stochastiques discrets(chaînes) pour lesquels on prouve : (i) des propriétés générales de chaînes extrémales, incluant la trivialité de la tribu queue, les corrélations à courtes portées, la réalisation via des limites à volumes infinis et l'ergodicité, (ii) deux nouvelles conditions pour l'unicité de la chaîne cohérente, (iii) des résultats de perte de mémoire et des propriétés de mélange pour des chaînes sous le régime de Dobrushin. On considère des systèmes à alphabet fini, pouvant avoir une grammaire. On établit des conditions pour qu'une chaîne définisse une mesure de Gibbs et vice-versa. On discute de l'équivalence des critères d'unicité pour les chaînes et les champs et on établit des bornes pour les taux de continuité des systèmes respectifs de probabilités conditionnelles. On prouve un théorème de (re)construction pour les spécifications en partant de conditionnement sur un site.

We introduce an statistical mechanical formalism for the study of discrete-time stochastic processes (chains) with which we prove: (i) General properties of extremal chains, including triviality on the tail sigma-algebra, short-range correlations, realization via infinite-volume limits and ergodicity. (ii) Two new sufficient conditions for the uniqueness of the consistent chain. (iii) Results on loss of memory and mixing properties for chains in the Dobrushin regime. We discuss the relationship between chains and one-dimensional Gibbs measures. We consider finite-alphabet systems, possibly with a grammar. We establish conditions for a chain to define a Gibbs measure and vice versa. We discuss the equivalence of uniqueness criteria for chains and fields and we establish bounds for the continuity rates of the respective systems of finite-volume conditional probabilities. We prove a (re)construction theorem for specifications starting from single-site conditioning