Méthodes de volumes finis et multiniveaux pour les équations de Navier-Stokes, de Burgers et de la chaleur

par Sylvain Faure

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Roger Temam et de Jacques Laminie.

Soutenue en 2003

à Paris 11 .


  • Résumé

    Cette thèse est composée de quatre chapitres traitant des méthodes de volumes finis et multiniveaux appliquées aux équations de la mécanique des fluides. Dans un premier chapitre, nous considérons l'équation de la chaleur non linéaire avec des conditions aux bords de type Robin, les termes non linéaires vérifiant une hypothèse de monotonie. Nous proposons un schéma de volumes finis discrétisant ce problème. Nous prouvons l'existence d'une solution approchée satisfaisant des propriétés de stabilité et convergeant vers la solution du problème continu. Dans les deux chapitres suivants, nous étudions la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles à l'aide de schémas de volumes finis à variables colocalisées i. E. Les vitesses et la pression sont calculées au même endroit. Ces schémas permettent des simulations dans des domaines à géométries complexes et rendent plus aisée la mise en oeuvre de méthodes multiniveaux. Le chapitre deux est dédié à l'analyse de la stabilité d'un de ces schémas utilisant une méthode de projection comme discrétisation temporelle. Le chapitre trois décrit les techniques d'implémentation de ces schémas, la principale difficulté étant d'assurer un couplage correct entre la vitesse et la pression. Enfin, dans un quatrième chapitre, nous présentons une nouvelle méthode multiniveaux qui résulte d'une adaptation aux volumes finis des Inconnues Incrémentales originellement définies dans un contexte de différences finies. Nous validons cette méthode à l'aide du problème de Burgers vu comme un problème non linéaire d'évolution modèle. Cette méthode a été construite pour fonctionner avec les schémas de volumes finis à variables colocalisées étudiés précédemment.


  • Résumé

    This thesis is composed of four chapters which deal with finite volume methods and multilevel methods applied to the fluid mechanic equations. In the first chapter, we consider the non-linear heat equation with Robin-type boundary conditions, the non-linear terms satisfying a monotony hypothesis. We describe the finite volume scheme used to discretize this problem. We prove the existence of an approximate solution and we state a stability result. We then show that this approximate solution converges to the solution of the continuous problem. In the next two chapters, we study the solution of the incompressible Navier-Stokes equations obtained with collocated finite volume schemes i. E. The velocity and the pressure are computed at the same location. These schemes facilitate the use of complex geometries and hierarchical space discretizations. The second chapter is dedicated to the stability analysis of one of these schemes using a projection method as time discretization. The third chapter describes the implementation of these schemes, the main difficulty being to obtain an appropriate coupling between the velocity and the pressure. Finally, in the fourth chapter, we introduce a new multilevel method which consists of a finite volume adaptation of the incremental unknowns originally defined in the finite difference context. We validate this method by solving the Burgers equations which may be regarded as a simplified model of the Navier-Stokes equations in the context of the collocated finite volume schemes previously studied.

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Informations

  • Détails : 148 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2003)277
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : FAUR
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