Enumération des revêtements ramifiés des surfaces de Riemann

par Dimitri Zvonkine

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Michel Bismut.

Soutenue en 2003

à Paris 11, Orsay .


  • Résumé

    L'application de Lyashko-Looijenga LL associe à une fonction rationnelle l'ensemble non ordonné de ses valeurs critiques. Nous étudions d'abord cette application sur l'espace des déformations verselles de la singularité An. Nous déterminons le degré de LL sur toutes les strates de cet espace, ainsi que sa multiplicité transverse relative pour toute paire de strates adjacentes. Nous étudions ensuite l'espace des déformations verselles de la singularité Dn et quelques espaces plus généraux de fonctions rationnelles. Nous trouvons le degré de LL sur les strates simples, c'est-à-dire constituées de fonctions n'atteignant chaque valeur critique qu'en un seul point critique. Finalement, nous considérons l'application LL sur une compactification naturelle de l'espace de toutes les fonctions rationnelles de degré n. Nous décrivons explicitement l'anneau de cohomologie de cet espace, Nous montrons que le problème de trouver le degré de LL sur les strates de cet espace est lié à sa théorie de l'intersection. Nous établissons plusieurs relations entre les classes d'homologie déterminées par les strates et en déduisons des résultats combinatoires sur le nombre de revêtements ramifiés de CP1 par CP1. Un autre résultat de la thèse est l'extension de la notion de différentielles de Strebel aux courbes complexes stables. Nous prouvons que les différentielles de Strebel ainsi définies forment une famille continue au-dessus de l'espace des modules M(g,n) des courbes stables de genre g avec n points marqués.


  • Résumé

    The Lyashko-Looijenga map LL assigns to a rational function the unordered set of its critical values. We first study this map on the space of versal deformations of the An singularity. We determine the degree of LL on all strata of this space, as well as the relative transversal multiplicity for each pair of adjacent strata. We then study the space of versal deformations of the Dn singularity and some more general spaces of rational functions. We find the degree of LL on simple strata, i. E. , on strata composed of functions that attain each critical value at a unique critical point. Finally, we consider the LL map on a natural compactification of the space of all rational functions of degree n. We explicitely describe the cohomology ring of this space. We show that the problem of finding the degree of LL on the strata of this space is related to its intersection theory. We establish several relations between the homology classes represented by the strata and deduce combinatorial results on the numbers of ramified coverings of CP1 by CP1. Another result of the thesis is the extension of the notion of Strebel differentials to stable complex curves. We show that the Strebel differentials thus defined form a continuous family over the moduli space M(g,n) of stable curves of genus g with n marked points.

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Informations

  • Détails : 200 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.195-200.

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2003)189
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : ZVON
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