Pincement spectral en courbure positive

par Jérôme Bertrand

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gilles Courtois.

Soutenue en 2003

à Paris 11 .


  • Résumé

    Sur l'ensemble des variétés Riemanniennes compactes à courbure de Ricci positive (on normalise par Ric ≥ (n -1)g), la première valeur propre du Laplacien agissant sur les fonctions atteint son minimum uniquement pour la sphère canonique. Dans cette thèse, nous caractérisons, à l'aide de la distance de Gromov-Hausdorff, les variétés Riemanniennes à courbure positive dont les premières valeurs propres du Laplacien sont proches de celles de la sphère canonique. Cette propriété de minimimalité du spectre de la sphère s'étend par un procédé de symétrisation, au spectre de Dirichlet des boules géodésiques de la sphère parmi les domaines de variétés à courbure de Ricci positive. Nous étudions les domaines de variétés à courbure de Ricci positive dont la première valeur propre de Dirichlet est presque minimale. En particulier, nous montrons qu'un domaine dont la première valeur propre de Dirichlet est proche de celle d'un hémisphère est Gromov-Hausdorff proche d'un hémisphère d'un sinus produit tordu.


  • Résumé

    On the set of compact Riemannian manifolds with positive Ricci curvature (normalized by Ric ≥ (n-1)g), the first eigenvalue of the Laplacian acting on functions reaches its minimum only for the round sphere. In this thesis, we characterize, using the Gromov-Hausdorff distance, Riemannian manifolds with positive Ricci curvature whose first eigenvalues are close to those of the round sphere. This property of minimality of the spectrum of the round sphere has been extended by a symmetrization principle, to the Dirichlet spectrum of the geodesic balls of the round sphere among the domains of Riemannian manifolds with positive curvature. We study the domains of Riemannian manifolds with positive Ricci curvature whose first Dirichlet eigenvalue is almost minimal. In particular, we show that a domain whose first Dirichlet eigenvalue is close to the one of a hemisphere is Gromov-Hausdorff close to a hemisphere of a sine warped product.

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Informations

  • Détails : 117 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.115-117

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
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  • Cote : M/Wg ORSA(2003)108
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
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  • Cote : BERT
  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : MHT 287
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