Résolution de systèmes linéaires de grande taille avec plusieurs seconds membres

par Julien Langou

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Luc Giraud.

Soutenue en 2003

à Toulouse, INSA .


  • Résumé

    Le point de départ de cette thèse est un problème posé par le groupe électromagnétisme de EADS-CCR : comment résoudre plusieurs systèmes linéaires avec la même matrice mais différents seconds membres ? Pour l'application voulue, les matrices sont complexes, denses et de grande taille (de l'ordre de quelques millions). Comme de telles matrices ne peuvent être ni calculées, ni stockées dans un processus industriel, l'utilisation d'un produit matrice-vecteur approché est la seule alternative. En l'occurrence, le produit matrice-vecteur est effectué en utilisant la méthode multipôle rapide. Dans ce contexte, le but de cette thèse est d'adapter les méthodes itératives de type Krylov de telles sorte qu'elles traitent efficacement les nombreux seconds membres. Nous nous concentrons particulièrement sur l'algorithme GMRES et ses variantes. Les schémas d'orthogonalisation que nous avons implanté dans GMRES sont des variantes de l'algorithme de Gram-Schmidt. Dans une première partie, nous nous intéressons à l'influence des erreurs d'arrondi dans les algorithmes de Gram-Schmidt. Dans une deuxième partie, nous avons étudié des variantes de la méthode GMRES, notamment GMRES-DR, seed GMRES et block GMRES. La troisième partie est dédiée à l'amélioration de ces techniques standards dans le cadre des problèmes électromagnétiques

  • Titre traduit

    Solving large linear systems with multiple right-hand sides


  • Résumé

    The starting point of this thesis is a problem posed by the electromagnetism group at EADS-CCR: How to solve several linear systems with the same coefficient matrix but various right-hand sides ? For the targeted application, the matrices are complex, dense and huge (of order of a few millions). Because such matrices cannot be computed nor stored in numerical simulations involved in a design process, the use of an iterative scheme with an approximate matrix-vector product is the only alternative. The matrix-vector product is performed using the Fast Multipole Method. In this context, the goal of this thesis is to adapt Krylov solvers so that they handle efficiently multiple right-hand sides. We mainly focus, in this thesis, on variants of GMRES. The orthogonalization schemes that we implemented for GMRES are some variants of the Gram-Schmidt algorithm. In a first part, we have investigated the effect of rounding errors in the Gram-Schmidt algorithms. In a second part, we have studied variants of the GMRES algorithm in particular GMRES-DR, seed GMRES et block GMRES. The third part is dedicated to the improvement of these standard methods for the solution of linear systems arising in electromagnetic applications

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Informations

  • Détails : 235 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 225-235

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Institut national des sciences appliquées. Bibliothèque centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2003/693/LAN
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