Géométrie de quelques algèbres et théorèmes d'annulation

par Pierre-Emmanuel Chaput

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Laurent Manivel.

Soutenue en 2003

à l'Université Joseph Fourier (Grenoble) .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Un théorème dû à Zak montre un lien pour le moins mystérieux entre des objets algébriques, les algèbres de Jordan, et des objets apparaissant naturellement dans le cadre de la géométrie projective complexe, les variétés de Scorza. La première partie de cette thèse essaie d'expliquer ce lien. Tout d'abord, la variété des éléments de rang de Jordan 1 dans une algèbre de Jordan est définie puis étudiée en détail: c'est une variété de Scorza et elle est l'image d'une généralisation de l'application de Veronese de degré deux. Ensuite, je donne des variantes de la preuve du théorème de Zak qui expliquent directement le lien avec les algèbres de Jordan, mais aussi l'homogénéité des variétés de Scorza et le rapport avec les espaces préhomogènes symétriques. Une technique omniprésente pour cette étude consiste à définir une algèbre par des constructions de géométrie projective: celle-ci permet de définir l'algèbre de Jordan dans laquelle vivent toutes les variétés de Scorza, mais s'applique plus généralement à un grand nombre d'autres algèbres. Par exemple, je donne une définition géométrique des algèbres de matrices, des algèbres de Lie et des algèbres de composition. De nombreux résultats de nature algébrique peuvent ainsi être retrouvés par des raisonnements géométriques particulièrement simples. J'étudie ainsi le groupe d'automorphismes d'une algèbre de Jordan et prouve une description des groupes spinoriels d'ordre pair. L'autre partie de cette thèse montre des théorèmes d'annulation pour les fibrés vectoriels amples. Je propose une généralisation d'un théorème dû à Laytimi et Nahm pour les puissances de Schur d'un fibré vectoriel correspondant à un produit tensoriel de crochets. Je démontre aussi des résultats pour les fibrés vectoriels de petit rang: ceux-ci impliquent une petite partie de la conjecture de Fulton et Lazarsfeld concernant la connexité de lieux de dégénérescence d'un morphisme de fibrés vectoriels. Par ailleurs, j'obtiens aussi des résultats plus forts dans le cas où le fibré est muni d'une forme quadratique non dégénérée ou symplectique à valeurs dans un fibré en droites. Ces résultats sont conséquence de théorèmes sur la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites homogènes sur les grassmanniennes, isotropes ou non. Je donne plusieurs résultats nouveaux concernant cette cohomologie.


  • Pas de résumé disponible.

  • Titre traduit

    Geometry of some algebras and vanishing theorems


  • Résumé

    Zak's theorem shows a rather mysterious link between algebraic objects, Jordan algebras, and objets appearing naturally in complex projective geometry, Scorza varieties. I give variations of the proof of Zak's theorem which explain directly this link. To this end, I define the Jordan algebra associated with a Scorza variety by projective geometry constructions; I also give a similar definition of the algebra of matrices, of Lie algebras and of composition algebras, which allows one to provide a geometric proof of some algebraic results. On the other way, I prove vanishing theorems for ample vector bundles. I give a generalisation of a theorem by Laytimi and Nahm, and results for vector bundles with small rank. They imply a small part of a conjecture by Fulton and Lazarsfeld about connectivity of degeneracy loci of a vector bundle morphism.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (183 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 179-183

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  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TS03/GRE1/0185
  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation (Saint-Martin d'Hères, Isère). Bibliothèque universitaire de Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS03/GRE1/0185/D
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