Représentations d'algèbres de Cherednik rationnelles et d'algèbres de Hecke graduées généralisées

par Charlotte Dezélée

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Thierry Levasseur.

Soutenue en 2003

à Brest .


  • Résumé

    On considère l'algèbre de Cherednik rationnelle h-(k) associée à la donnée d'un espace euclidien aR, d'un système de racines réduit R C aR* (de groupe de Weyl W) et d'une multiplicité k : R C. On utilise sa réalisation dans End(C[a]) via les opérateurs de Dunkl, qui permet de démontrer un théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt. On étudie d'abord sa sous-algèbre sphérique (comparée à l'image de l'opérateur de composante radiale dans le cas d'une paire symétrique) et sa sous-algèbre des W-invariants (en type A2, une famille finie de générateurs est donnée). Principalement, on donne un critère d'existence de H(k)-modules de Verma de dimension finie. En rang 2, les multiplicités pour lesquelles de tels modules existent sont calculées. Enfin on généralise la notion d'algèbre de Hecke graduée pour une sous-algèbre remarquable de H(k), en types B ou D. Dans chacun de ces cas, on développe une théorie des représentations analogue (paramétrage de Langlands, modules de la série principale, critère d'irréductibilité).

  • Titre traduit

    Representations of rational Cherednik algebras and of generalisated gradued Hecke algebras


  • Résumé

    Let H(k) be the rational Cherednik algebra associated to an euclidean space aR*, a reduced roots system R C aR (with associated Weyl group W) and a W-invariant function k : R C. We use its realisation in End(C[a]) by Dunkl's operators. This provides a demonstration of a Poincaré-Birkhoff- Witt Theorem. We first study the spherical sub-algebra (compared to the image of the radial part operator for a symetric pair) and the W-invariants' sub-algebra H(k)w (for which we give a set of generators, in type A2). Essentially, we give a criterion for the existence of finite dirnensional H(k)-Verma modules. We determine all the parameters k for which such modules exist in rank 2. We generalize the structure of graded Hecke algebra to study a classical sub-algebra of H(k), in type B or D. In each case, we determine an analogous representation theory (Langlands' parameters, principal series representations , irreducibility criterion).

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Informations

  • Détails : 80 f.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. f. 75-76

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  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TBRB2003/3
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