Dynamique sur des ensembles de Cantor et propriétés analytiques de fonctions zêta
par Frédéric Naud
Thèse de doctorat en Informatique et mathématiques
Sous la direction de Vesselin Petkov.
Soutenue en 2003
à Bordeaux 1 .
mots clés-
Résumé
Motivé par les liens entre la théorie des résonances et les proriétés analytiques de fonctions zêta dynamiques, on s'intéresse dans ce travail aux fonctions zêta associées à deux classes de flots géodésiques hyperboliques sur des variétés de volume infini où l'ensemble de non-errance a une structure d'ensemble de Cantor. Dans le premier cas (billards euclidiens ouverts en dimension 3), on obtient, pour des obstacles génériques, un prolongement analytique dans un voisinage à décroissance polynomiale de l'axe de convergence absolue. Dans le seuxième cas (surface hyperboliqes convexes co-compactes), on obtient pour la fonction zêta de sSelberg l'existence d'une bande sans zéros à gauche de l'axe de convergence absolue. Ce résultat implique un reste exponentiellement petit pour le théorème des orbites primitives du flot géodésique.
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Titre traduit
Dynamics on Cantor sets and analytic continuations fo zeta functions
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Résumé
Motivated by the links between the analytic properties of dynamical zeta functions and the resonances of the Laplace operator for non-compact problems, we study two classes of zeta functions related to the geodesic flow (whose dynamics are axiom A) on some infinite volume manifolds where the non-wandering set is of Cantor type. In the first case (open billiards), we show tha for generic obstacles, the corresponding zeta function has an analytic continuation to a polynomially decreasing neighborhood of the line of absolute ocnergence. In the second case (hyperbolic convex co-compact surfaces), we show, for the Selberg zeta function, the existence of a zero free strip on the feft of the line of absolute convergence. This résult implies an exponential error term for the prime orbit theorem of the geodesic flow.
