Equations aux dérivées partielles stochastiques et homogénéisation

par Mamadou Abdoul Diop

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Étienne Pardoux.

Soutenue en 2003

à Aix-Marseille 1 .


  • Résumé

    Les travaux exposés dans cette thèse traitent de l'homogénéisation d'équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaires, dans le cas de coefficients périodiques, avec une non linéarité fortement oscillante. Dans le premier chapitre de ce travail nous exposons les résultats obtenus au cours de cette thèse, lesquels sont détaillés dans les deux chapitres suivants. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'un problème de moyennisation pour des opérateurs paraboliques aléatoires sous forme divergence dans le cas d'un grand potentiel et avec des coefficients rapidement oscillants en temps aussi bien qu'en espace. On suppose que le milieu possède une structure microscopique périodique alors que la dynamique temporelle est markovienne. Nous montrons que l'équation limite est une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, obtenue par passage à la limite en loi. Le troisième chapitre est consacré à l'étude d'un problème de moyennisation pour des opérateurs paraboliques, stationnaires avec des coefficients rapidement oscillants dans le cas d'un grand potentiel. Sous l'hypothèse que les coefficients sont périodiques en espace, aléatoires, stationnaires en temps et qu'ils possèdent certaines propriétés de mélange, nous montrons que l'équation limite est une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, obtenue par passage à la limite en loi.

  • Titre traduit

    Stochastic partial differential equations and homogenization


  • Résumé

    This thesis is devoted to some problems connected to the theory of homogenization of random parabolic operators with large potential. It is assumed that the said operators have a periodic spatial microstructure whose characteristics are rapidly oscillating stationary random process in time. Two different cases of non diffusive scaling are addressed. Namely, the case when the oscillation in time is faster than that in spatial variables and the opposite case when the time oscillation is slower than that the spatial one. It is shown that in the former case, under certain mixing conditions,the corresponding Cauchy problem admits homogenization and its solution converges in probability to a solution of a deterministic semilinear operator. In the latter case the limit equation is a stochastic partial differential equation. Here a solution of the original Cauchy problem converges in law in the energy functional space, while con vergence in probability does not takes place. The thesis consists of an introduction and three different parts. In the introduction we give an elementary presentation of the basic ideas in the homogenization theory. The first chapter, deals with the results contained in this thesis. In the second chapter the operators with Markov driving processes are considered. In the second part the operators with non Markov coefficients are investigated.

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Informations

  • Détails : 84 p.
  • Annexes : Bibliogr. p.83-84

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