Trace dans les catégories tressées et indice équivariant non commutatif

Trace in braided categories and equivariant noncommutative index

• Auteur / Autrice : Régis Leclercq
• Direction : Dimitri Gourevitch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Valenciennes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cayley-Hamilton, Théorème de

Théorie des tresses

Mots clés libres

Déterminant associé central

Indice équivariant non commutatif

Résumé

Nous construisons des catégories dites tressées à partir de certains opérateurs de Yang-Baxter de type de Hecke et nous étudions la trace catégorique dans ces catégories. Nous proposons une nouvelle approche pour la définition d'une telle trace et pour la dimension correspondante. Nous calculons cette dernière pour les objets d'une catégorie en question. Nous appliquons la trace catégorique dans l'étude de l'indice non commutatif équivariant pour des algèbres qui sont des analogues tressés des orbites génériques dans [dollar]su(2)^{*}[dollar]; elles sont appelées sphères tressées. Au contraire de l'indice non commutatif de Connes, nous proposons une version équivariante de l'indice mieux adaptée à la structure tressée des algèbres en question. Nous calculons explicitement l'indice non commutatif équivariant sur la sphère quantique et nous montrons qu'il n'est que la dimension quantique d'un espace propre d'un opérateur appelé Casimir tressé opérant dans le produit tensoriel de deux espaces vectoriels

We construct some categories called braided arising from certain Hecke type solutions of the quantum Yang-Baxter equation and we study the categorical trace in these categories. We suggest a new approach for defining such a trace and corresponding dimension. We compute this dimension for objects of a category in question. We apply the categorical trace to study equivariant non commutative index for certain associative algebras being braided analogues of generic orbits in [dollar]su(2)^{*}[dollar] and called braided spheres. In contrast with Connes' noncommutative index our equivariant index makes use of the categorical trace and it is better adapted to the braided nature of the algebras in question. We explicitly compute the equivariant non commutative index on quantum sphere and show that it is equal to the categorical dimension of an eigenspace of an operator called braided Casimir acting in the tensor product of two vector spaces