Cohomologie équivariante des espaces SU(n)2g et de leurs réductions quasi-Hamiltoniennes

• Auteur / Autrice : Sébastien Racanière
• Direction : Michèle Audin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Strasbourg 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie symplectique

Espaces algébriques

Modules (algèbre)

Mots clés libres

Cohomologie équivariante

Résumé

Il est bien connu que dans la réduction d'un espace hamiltonien, l'application de restriction est surjective. Dans le cadre quasi-hamiltonien les choses sont plus compliquées. Nous nous proposons d'étudier le cas de l'espace SU(n)2̂g. La réduction de cet espace en un élément du centre de SU(n) est isomorphe à un espace de modules de fibrés holomorphes semi-stables sur une surface de Riemann. En premier lieu nous nous intéressons à sa réduction en un générateur du centre de SU(n). Nous décrivons l'application de restriction dans ce cas en fonctions de générateurs multiplicatifs naturels de la cohomologie équivariante de SU(n)2̂g et de la cohomologie de l'espace de modules. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à sa réduction en la matrice identité de SU(n). L'application de restriction est ici injective. Après l'étude d'une famille de fonctions de Morse-Bott sur SU(n)2̂g, nous proposons une interprétation géométrique de l'injectivité de l'application de restriction dans les cas n=2 ou 3.

A well known fact about reduction in a Hamiltonian space is that its restriction map is surjective. In a quasi-Hamiltonian setting, things are more complicated. In this thesis, we study the case of the space SU(n)2̂g. Its reduction at an element in the center of SU(n) is isomorphic to a moduli space of semi-stable holomorphic vector bundles over a Riemann surface of genus g. Firstly, we study the reduction at a regular value of the moment map, namely a generator of the center of SU(n). We describe its restriction map in terms of natural multiplicative generators of the equivariant cohomology of SU(n)2̂g and of the moduli space's cohomology. Secondly, we look at the reduction at the identity matrix of SU(n). Here the restriction map is injective. After a study of a family of generalised Morse-Bott functions on SU(n)2̂g, we propose a geometric interpretation of the injectivity of the restriction map in the cases n=2 or 3.