Limite singulière et comportement en temps long de systèmes de réaction-diffusion en dynamique des populations

par Rémi Weidenfeld

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Danielle Hilhorst.

Soutenue en 2002

à Paris 11 .


  • Résumé

    Le sujet de cette thèse est l'étude de limites singulières et du comportement en temps long des solutions de systèmes de réaction-diffusion intervenant en dynamique des populations. Ces systèmes modélisent l'évolution de deux populations biologiques en interaction qui diffusent dans un milieu et qui sont telles que l'une des espèces se multiplie en consommant l'autre. Les équations pour les deux populations contiennent les mêmes termes d'interaction mais avec des signes opposés, ce qui implique en particulier l'absence, de principe de comparaison direct pour le système. Le premier chapitre est consacré à l'étude d'un système de diffusion non linéaire. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution, présentons une borne essentielle indépendante du temps et décrivons son comportement asymptotique en grand temps. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un cas où la diffusion est linéaire et effectuons un changement d'échelle de temps pour trouver la limite singulière des solutions quand le coefficient des termes de réaction tend vers l'infini. Ce résultat permet aussi de mieux comprendre le comportement des solutions en grand temps. Le troisième chapitre porte sur un système similaire pour lequel chaque population a de plus une croissance propre. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution et présentons son comportement en temps long. Puis nous caractérisons deux limites singulières selon que le grand paramètre est assigné à tout ou partie des termes de réaction. Dans le quatrième chapitre, nous décrivons la limite singulière d'une équation d'Allen-Cahn anisotrope où des anisotropies interviennent dans le terme de diffusion et en facteur d'un terme dépendant du gradient de la fonction inconnue et prouvons la convergence vers un problème à frontière libre, où le mouvement de l'interface est induit par sa courbure moyenne anisotrope ainsi qu'un terme de force. Dans ce but, nous établissons des propriétés de génération et de propagation.


  • Résumé

    This thesis deals with singular limits and large time behavior for solutions of reaction-diffusion systems arising in population dynamics. These systems model the evolution of two biological species which diffuse in a media and interact in such a way that one species grows by consuming the other. The equations for the concentrations of the species involve the same interaction terms but with opposite signs, which implies in particular that there does not hold any direct comparison principle. The first part is devoted to the study of a nonlinear diffusion system. We prove the existence and uniqueness of the solution, obtain a time independent upper bound of the solution and describe its large time behavior. The methods of proof are based upon energy estimates. In the second part, we consider a case with linear diffusion and introduce a new time scale in order to characterize the singular limit of the solutions when the coefficient of the reaction terms tends to infinity. This result yields in turn a more precise description of the large time behavior of the solutions. The third part deals with a similar system but for which each population can grow by itself. We prove the existence and uniqueness of the solution and describe its large time behavior. Moreover we derive two singular limits, where the large parameter is assigned to all or to part of the reaction terms. The proofs are based either upon a Lya-punov functional or on comparing the solution with those of some monostable parabolic problems. In the fourth part, we describe the singular limit of an anisotropic Allen-Cahn equation, where anisotropy is included in both the diffusion term and a gradient term. We show that the solution converges to that of a moving boundary problem, where the interface motion is given by its anisotropic mean curvature and a forcing term. To that purpose we prove generation and propagation of interface properties by constructing suitable upper-and lower solutions.

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Informations

  • Détails : 146 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.[143]-[146].

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2002)292
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : WEID
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