Etudes théoriques et numériques sur les équations de Schrödinger et Ginzburg-Landau stochastiques

par Marc Barton-Smith

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Arnaud Debussche.

Soutenue en 2002

à Paris 11, Orsay .


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  • Titre traduit

    Theoretical and numerical studies for stochastic Schrödinger and Ginzburg-Landau equations


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire focalisante (NLS) stochastique avec bruits multiplicatifs ou additifs "aussi blancs que possible", afin d'être le plus fidèle aux phénomènes physiques. Cette recherche comporte deux approches, l'une théorique, l'autre numérique. Pour le théorique, par rapport aux résultats déjà établis, il n'a pas été possible de réduire les hypothèses de régularité sur le bruit pour NLS, c'est pourquoi ce problème a été remplacé par celui de l'équation de Ginzburg-Landau complexe (CGL) stochastique. Celui-ci a l'avantage, d'un point de vue mathématique, d'admettre des bruits moins réguliers, et d'avoir des solutions qui peuvent, a priori, être très proches des solutions de NLS stochastique - il est en effet prouvé dans cette thèse, pour des bruits blancs additifs ou multiplicatifs de faible régularité, voire même blancs pour le cas multiplicatif 1 D, l'existence de solutions globales sous les mêmes conditions déterministes posant correctement le problème de Cauchy. Pour l'approche numérique, les solutions de NLS stochastique avec bruit blanc additif et multiplicatif ont pu être simulées en dimension 2. Deux phénomènes majeurs des solutions ont été étudiés sous l'influence du bruit, à savoir le phénomène de la propagation d'ondes stationnaires et celui de l'explosion. Cette étude numérique, outre l'intérêt qualitatif physique, se veut aussi d'un intérêt mathématique pour l'étude des solutions explosives. En effet en vue de pouvoir établir l'existence ou non de solution globale pour NLS stochastique, fait théorique non prouvé dans les cas critiques avec des bruits blancs, un schéma très robuste et un code optimisé adaptés à de gros calculs de solutions instables et fortement singulières a été mis en place. L'essentiel de cette étude révèle un effet, amortissant du bruit multiplicatif blanc qui stoppe l'explosion et prolonge le temps de cohérence des ondes dans le cas critique.

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Informations

  • Détails : 115 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Notes bibliogr.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2002)274
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : BART
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