Etudes théoriques et numériques sur les équations de Schrödinger et Ginzburg-Landau stochastiques

par Marc Barton-Smith

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Arnaud Debussche.

Soutenue en 2002

à Paris 11 .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire focalisante (NLS) stochastique avec bruits multiplicatifs ou additifs "aussi blancs que possible", afin d'être le plus fidèle aux phénomènes physiques. Cette recherche comporte deux approches, l'une théorique, l'autre numérique. Pour le théorique, par rapport aux résultats déjà établis, il n'a pas été possible de réduire les hypothèses de régularité sur le bruit pour NLS, c'est pourquoi ce problème a été remplacé par celui de l'équation de Ginzburg-Landau complexe (CGL) stochastique. Celui-ci a l'avantage, d'un point de vue mathématique, d'admettre des bruits moins réguliers, et d'avoir des solutions qui peuvent, a priori, être très proches des solutions de NLS stochastique - il est en effet prouvé dans cette thèse, pour des bruits blancs additifs ou multiplicatifs de faible régularité, voire même blancs pour le cas multiplicatif 1 D, l'existence de solutions globales sous les mêmes conditions déterministes posant correctement le problème de Cauchy. Pour l'approche numérique, les solutions de NLS stochastique avec bruit blanc additif et multiplicatif ont pu être simulées en dimension 2. Deux phénomènes majeurs des solutions ont été étudiés sous l'influence du bruit, à savoir le phénomène de la propagation d'ondes stationnaires et celui de l'explosion. Cette étude numérique, outre l'intérêt qualitatif physique, se veut aussi d'un intérêt mathématique pour l'étude des solutions explosives. En effet en vue de pouvoir établir l'existence ou non de solution globale pour NLS stochastique, fait théorique non prouvé dans les cas critiques avec des bruits blancs, un schéma très robuste et un code optimisé adaptés à de gros calculs de solutions instables et fortement singulières a été mis en place. L'essentiel de cette étude révèle un effet, amortissant du bruit multiplicatif blanc qui stoppe l'explosion et prolonge le temps de cohérence des ondes dans le cas critique.

  • Titre traduit

    Theoretical and numerical studies for stochastic Schrödinger and Ginzburg-Landau equations


  • Résumé

    This thesis is dedicated to the study of the stochastic focusing nonlinear Schrödinger equation (NLS) with multiplicative or additive noise "as white as possible" in order to be closer to the physic models. This research is divided in two parts, a theoretical one and a numerical one. For the theoretical part, considering the results already known, it was not possible to reduce the noise regularity, for this reason this problem was replaced by the problem of stochastic complex Ginzburg-Landau equation (CGL). The latter has the advantage to admit mathematically much less regular noise than NLS and its solutions can a priori converge towards the solutions of stochastic NLS - Indeed it is proved in this thesis, for multiplicative and additive noises of weak regularity, even for white multiplicative noise in the case of NLS 1 D, the existence of global solution under the same assumptions for a well posed deterministic cauchy problem. For the numerical approach, NLS stochastic solutions with additive and multiplicative white noise are simulated in dimension 2. Two major phenomena of the solutions behavior are analyzed under the influence of noise : the phenomenon of stationary waves propagation and the phenomenon of blow-up. Beyond the physical interest of this study, the mathematical aspect is pointed out to know if the solutions are global or not. Indeed in order to see numerically if, because of the noise, the solutions become global, which is not theoretically demonstrated, a robust scheme and an optimal code adapted to high complex computations was implemented to compute very singular and unstable solutions. Mainly this studies reveal that multiplicative white noise has a general damping effect which stops the blow-up and really increases the coherence time of the waves in the critical case.

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Informations

  • Détails : 115 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Notes bibliogr.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2002)274
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : BART
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