Contrôlabilité exacte d'équations dispersives issues de la mécanique

par Emmanuelle Crepeau-Jaisson

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Michel Coron.

Soutenue en 2002

à Paris 11, Orsay .


  • Résumé

    Le sujet principal de cette thèse est l'étude de la contrôlabilité exacte de deux équations dispersives, l'équation de Korteweg-de Vries et la "bonne" équation de Boussinesq. En ce qui concerne l'équation de Korteweg-de Vries, on étend un résultat de Rosier en montrant la contrôlabilité exacte en tout temps de l'équation non linéaire autour d'une solution stationnaire proche de zéro mais non nulle, ce pour des longueurs de domaine spatial critiques. Cette démonstration utilise en particulier la méthode d'unicité hilbertienne couplée avec la méthode des multiplicateurs et un théorème de point fixe. Ensuite, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte de l'équation de Boussinesq pour deux contrôles différents. On utilise également la méthode d'unicité hilbertienne pour ces problèmes en appliquant une inégalité de Ingham. On obtient ainsi un résultat de contrôlabilité exacte pour des temps arbitrairement petits. Nous implémentons ensuite cette méthode de façon numérique pour l'équation de Boussinesq avec un contrôle portant sur la dérivée seconde à droite, tant sur le problème linéaire que non linéaire.


  • Résumé

    In this thesis, we study the exact controlability of two dispersive equations, the Korteweg-de Vries equation and the "good" Boussinesq equation. First, for the Korteweg-de Vries equation, we extend a result of Rosier. We prove that for critical length, the nonlinear equation is exactly controlable in a neighbourhood of a small non nul stationary solution. This study uses the hilbert uniqueness method with the multiplier theory and a fixed point theorem. Secondly, we study the exact controllability of the "good" Boussinesq equation with two different boundary controls. We use again the hilbert uniqueness method but with Ingham inequality. Lastly, we apply this method for a numerical approach of the controllability of the Boussinesq equation both for linear and nonlinear equations. The control is applied to the second spatial derivative, at the right endpoint.

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Informations

  • Détails : 147 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.145-[147].

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2002)210
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : CREP
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