Estimation de la densité de probabilité d'une mesure dans un cadre non-linéaire, non-gaussien

Estimation of the probability density function of a measurement in a non-linear, non-gaussian framework

• Auteur / Autrice : José Ismäel de la Rosa Vargas
• Direction : Jacques Oksman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Probabilités

Bootstrap (statistique)

Noyaux (analyse fonctionnelle)

Variables aléatoires

Résumé

Mettre en oeuvre une procédure de mesure passe par la modélisation préalable du phénomène observé. Modéliser devient alors un objectif à part entière même s'il ne faut pas le décorréler de l'objectif de mesure. Au-delà de la construction et du choix de modèle, persiste le problème, à la fois théorique et pratique, de l'évaluation de la densité de probabilité (DDP) des paramètres du modèle retenu. Une fois cette DDP estimée, il faut pouvoir propager cette information statistique jusqu'à la grandeur d'intérêt appelée mesure. Cette mesure étant une fonction non-linéaire des paramètres du modèle. Ainsi, notre travail de recherche porte sur l'estimation de la DDP de la mesure. Pour ce faire, nous proposons une première approche fondée sur les méthodes de type bootstrap. Ces méthodes de simulation comme les méthodes traditionnelles de type Monte-Carlo, requièrent un temps de calcul significatif, cependant elles aboutissent à une très bonne précision sur la caractérisation statistique des systèmes de mesure. Par ailleurs, nous avons pu vérifier que la convergence de ce type de méthodes est plus rapide que celle de la méthode de Monte-Carlo Primitive (MCP). Un avantage certain du bootstrap est sa capacité à déterminer la nature des erreurs agissant sur le système de mesure, grâce à l'estimée de la DDP empirique des erreurs. En outre, l'optimisation de la convergence peut se atteindre en utilisant des schémas de pondération sur les erreurs ou bien, un schéma modifié du bootstrap itéré. Nous proposons aussi l'utilisation d'un schéma d'estimation robuste au cas des données aberrantes. Une deuxième approche est fondée sur l'échantillonnage par les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC), la caractérisation statistique selon ce point permet d'utiliser toute l'information a priori connue sur le système de mesure, en effectuant une reformulation du problème selon la règle de Bayes. L'échantillonnage de Gibbs et les algorithmes de Metropolis-Hastings ont été exploités dans ce travail. En ce qui concerne l'optimisation de la convergence du MCMC, on a adapté des algorithmes tels que le rééchantillonnage pondéré et le couplage de chaînes dans le temps rétrograde. En particulier, nous avons proposé un échantillonneur de Gibbs par simulation parfaite et un algorithme hybride par simulation parfaite. Une dernière approche au problème d'estimation de la mesure est construite à l'aide des méthodes d'estimation par noyaux. L'idée principale est fondée sur la caractérisation non-paramétrique de la DDP des erreurs, sachant qu'elle est inconnue. . .

The characterization and modeling of an indirect measurement procedure is led by a set of previously observed data. The modeling task is it self a complex procedure which is correlated with the measurement objective. Far from model building and model selection, a theoretical and practical problem persists: What is the correct probability density function (PDF) of a parametric model? Once this PDF is approximated, the next step is to establish a mechanism to propagate this statistical information until the quantity of interest. In fact, such a quantity is a measurement estimate and it is a nonlinear function of the parametric model. The present work proposes some different methods to make statistical inferences about the measurement estimate. We propose a first approach based on bootstrap methods. Such methods are classical in statistical simulation together with Monte Carlo methods, and they require a significative time of calcul. However, the precision over the measurement PDF estimated by these methods is very good. On the other hand, we have verified that the bootstrap methods convergence is faster than the Primitive Monte Carlo's one. Another advantage of bootstrap is its capacity to determine the statistical nature of errors which perturb the measurement system. This is doing thanks to the empirical estimation of the errors PDF. The bootstrap convergence optimization could be achieved by smoothing the residuals or by using a modified iterated bootstrap scheme. More over, we propose to use robust estimation when outliers are present. The second approach is based on other sampling techniques called Markov Chain Monte Carlo (MCMC), the statistical inference obtained when using these methods is very interesting, since we can use all a priori information about the measurement system. We can reformulate the problem solution by using the Bayes rule. The Gibbs sampling and the Metropolis-Hastings algorithms were exploited in this work. We overcome to the MCMC convergence optimization problem by using a weighted resampling and coupling from the past (CFTP) schemes, moreover, we adapt such techniques to the measurement PDF approximation. The last proposed approach is based on the use of kernel methods. The main idea is founded on the nonparametric estimation of the errors PDF, since it is supposed unknown. Then, we optimize a criterion function based on the entropy of the errors' PDF, thus we obtain a minimum entropy estimator (MEE). The simulation of this estimation process by means of Monte Carlo, MCMC, or weighted bootstrap could led to us to construct a statistical approximation of the measurement population. . .