File d'attente et généalogies d'un processus de branchement

par Petru-Sorin Botezat

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Yves Le Jan.

Soutenue en 2002

à Paris 11, Orsay .


  • Résumé

    On étudie une version d'une correspondance, mise en évidence par Kendall, entre processus de branchement et marches aléatoires. Le Gall et Le Jan l'ont généralisée pour étendre la construction du serpent brownien à des superprocessus à mécanisme de branchement plus général que celui quadratique. Sous des hypothèses encore plus générales, on exhibe une bijection qui transporte les arbres aléatoires marqués, associés à la généalogie d'un processus de branchement, sur les trajectoires d'une file d'attente et qui envoie la loi gouvernant l'histoire de la population sur la loi de la file. Les individus de la population étudiée portent deux marques: le type et la longueur de vie. Les fils de u, conditionné par rapport aux individus qui ne sont pas dans la descendance de u, naissent après des temps exponentiels et portent des marques indépendantes et identiquement distribuées, les lois conditionnelles ne dépendant que du type des ancêtres de u. La file d'attente est obtenue par une exploration déterministe d'abord en profondeur de la généalogie de la population. Cette file est un objet plus général que les processus de Lévy à sauts positifs. Ses propriétés peuvent être étudiées en s'appuyant entièrement sur les propriétés des arbres. Ainsi on montre comment la propriété de Markov de la file d'attente dérive de la propriété de branchement le long d'une branche de l'arbre aléatoire. Pour cela, on remplace le temps réel par un paramètre (branche) plus proche de la généalogie de l'arbre. On prouve la propriété de Markov forte pour la file d'attente dans les nouvelles coordonnées. La propriété de Markov forte en temps réel en découle, les temps optionnels étant des branches optionnelles. Cette technique exige une analyse très fine des rapports s'établissant entre le temps réel qui indexe la file d'attente et la structure généalogique de l'arbre aléatoire sous-jacent.


  • Résumé

    We study a version of the correspondence between branching processes and random walks, that was discovered by Kendall. Le Gall and Le Jan generalized it in order to extend the brownian snake towards superprocesses with more general branching mechanism than the quadratic one. We establish, in more general hypothesis, a deterministic one-to-one map between the labelled random trees describing the genealogy of a branching process and the paths of a queue; this map transports the law which controls the history of the population in the law of the queue. The individuals in the population we study are labelled by their type and longevity. If one conditions with respect to the individuals not in the u's progeny, then u gives birth at exponential times to children bearing independent and identically distributed labels, the conditional laws depending only upon the type of u's ancestry. The queue is obtained via a deterministic depth first exploration of the genealogy of the population. This queue is a more general object than a Lévy process with no negative jumps. Its properties may be studied with the only aid of the corresponding properties of the trees. Thus, we show how the branching property of the tree along branches yields the Markov property of the queue. In this regard, we replace the time with a parameter (the branch) close to the genealogy of the tree and we prove the strong Markov property of the queue in these new coordinates. From this one gets the strong Markov property in real time, because optional times are optional branches. This technique requires a detailed analysis of the relations between the real time indexing the queue and the genealogical structure of the associated random tree.

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Informations

  • Détails : XXXVI-235 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.233-234.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2002)157
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