Limite semi-classique de transformées de Wigner dans des milieux périodiques ou aléatoires

par Matthieu Brassart

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Frédéric Poupaud.

Soutenue en 2002

à Nice .


  • Résumé

    Cette thèse concerne l'homogénéisation, ou limite semi-classique, des transformées de Wigner associées à des suites bornées solutions d'une équation de Schrödinger ou d'un système hyperbolique linéaire du premier ordre. On établit diverses équations de transport satisfaites par les mesures de Wigner limites lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. Une première partie résume les propriétés générales de la transformation en rappelant son lien avec le calcul pseudo-différentiel. Une seconde partie étudie la perturbation des hamiltoniens périodiques par des potentiels réguliers apériodiques au moyen d'estimations de commutation concernant les décompositions de Bloch. Une troisième partie étudie sous une hypothèse de couplage faible l'homogénéisation de certains milieux aléatoires évoluant chaotiquement selon une dynamique réversible mais gouvernés en moyenne par une dynamique irréversible de type Bolztmann. Une quatrième partie clarifie au moyen du formalisme des transformées de Wigner un résultat connu d'existence-unicité pour la hiérarchie infinie BBGKY du problème de Schr"odinger à N particules, lorsque N tend vers l'infini, dans l'approximation de champ moyen.

  • Titre traduit

    Semi-classical limit for Wigner transforms in periodic or random media


  • Résumé

    This thesis is concerned with the homogenization (or semi-classical limit) of various Wigner transforms associated to bounded sequences which solve a Schr"odinger equation or a first order linear hyperbolic system. Transport equations are derived for the limiting Wigner measure when a small parameter goes to zero. A first part describes the general properties of Wigner transforms and recalls their links to pseudo-differential calculus. A second part studies the perturbation of periodic hamiltonians by regular aperiodic potentials by means of commutation estimates concerning Bloch decompositions. A third part studies in the weak coupling limit a class of random media which are chaotically governed by reversible dynamics but statistically governed by irreversible dynamics of Boltzmann's type. Using the Wigner formalism a fourth part clarifies a known result of existence-unicity for the BBGKY infinite hierarchy of Schr"odinger problem with N particles, when N goes to infinity, in the mean field approximation.

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Informations

  • Détails : 221 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 220. Résumés en français et en anglais

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  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 02NICE5751bis
  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 02NICE5751
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